黎曼和

對一個在閉區間有定義的實值函數，關於取樣分割、的黎曼和定義為以下和式：

和式中的每一項是子區間長度與在處的函數值的乘積。直觀地説，就是以標記點到X軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。 ^[1] 

不太嚴格地來説，黎曼積分就是當分割越來越“精細”的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對“越來越‘精細’”作出嚴格的定義。

要使得“越來越‘精細’”有效，需要把趨於0。如此中的函數值才會與接近，矩形面積的和與“曲線下方”的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。

嚴格定義如下：是函數在閉區間上的黎曼積分，當且僅當對於任意的，都存在，使得對於任意的取樣分割、，只要它的子區間長度最大值，就有： ^[2] 

也就是説，對於一個函數，如果在閉區間上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函數的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼在閉區間上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限，這時候稱函數為黎曼可積的。

這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢驗所有的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。

另一個定義: 是函數在閉區間上的黎曼積分，當且僅當對於任意的，都存在一個取樣分割、，使得對於任何比其“精細”的分割 and ，都有：

這兩個定義是等價的。如果有一個滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於，於是滿足

其次證明滿足第二個定義的也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念，第二個定義和達布積分的定義是等價的，具體見達布積分（達布積分那一文章裏並沒有説明這個原因，來源請求）。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割使得它的上達布和與下達布和都與相差不超過。令等於，其中和是在上的上確界和下確界。再令是和中的較小者。可以看出，當一個分割的子區間長度最大值小於時，關於它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差，所以和至多相差。

由於以上原因，黎曼積分通常被定義為達布積分（即第二個定義），因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。 ^[2] 

由於一個函數的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間後，將一個黎曼可積的函數設到其黎曼積分的映射是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函。

無論a、b、c之間的大小關係如何，以上關係式都成立。 ^[3] 

黎曼積分可推廣到值屬於維空間的函數。積分是線性定義的，即如果，則。特別地，由於複數是實數向量空間，故值為複數的函數也可定義積分。

黎曼積分只定義在有界區間上，擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分，即如同反常積分（improper integral）一樣。我們可以令

不幸的是，這並不是很合適。平移不變性（如果把一個函數向左或向右平移，它的黎曼積分應該保持不變）喪失了。

我們可以嘗試定義：

此時，如果嘗試對上面的積分，我們得到，因為我們先使用了極限。如果使用相反的極限順序，我們得到。

這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令在上，其它域上等於0。對所有，。但一致收斂於0，因此的積分是0。因此。即使這是正確的值，可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。

一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。

擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子，粗略地説，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法。 ^[1] 

德國數學家。生於德國漢諾威(Hannover) 的佈雷塞倫茨(Breselenz)，是牧師之子，在哥廷根 (Gottingen) 大學和梅林大學學習，1851年在哥廷根大學獲得博士學位，1854年任該大學兼職講師，1857年任副教授，1859年作為P. G. L. Dirichlet的繼承人任教授。因患肺病，英年早逝。短短一生中，在數學各個領域作出了劃時代的貢獻。最重要的貢獻有四個方面：幾何學、複變函數論、微分方程和數學分析的基本理論。他是黎曼幾何的創始人，複變函數理論創始人之一。在數學分析方面，他給積分下的標準定義，一直沿用至今，以至於這種意義下的古典積分叫作“黎曼積分”。他還對傅立葉級數理論做了許多研究，其中最著名的就是以他的名字命名的定理。黎曼對偏微分方程和常微分方程理論，特別是常微分方程的奇點理論，也都創造了一些重要的方法。黎曼還十分關注自然科學，特別是物理學。他的複變函數和微分方程研究都直接與流體力學和電磁理論相聯繫，著名的數學家克萊因曾在《19世紀數學發展講義》一書中指出： ^[4]  “黎曼用他的數學才能為自然科學本身開闢新的途徑。然後又把自然科學作為形成數學中的新概念的動力”。