定积分

[dìng jī fēn]
数学名词
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定积分,一般指在一个区间上有定义的一元实函数的黎曼和的极限。它描述的是将函数在区间上作微元后,将函数值累加起来的过程。直观地看,定积分描述的是函数图像在一段区间内围成曲边梯形的正向面积。
定积分具有一系列重要的性质与计算方法,包括牛顿-莱布尼兹公式等。
定积分在数学和物理上有非常广泛的应用,包括求曲线弧长、几何体体积、变力做功等;从定积分出发还可以衍生出定积分中值定理等。
中文名
定积分
外文名
definite integral
学    科
数学

定义与可积性

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定义

对于在实数区间
上有定义的函数
,并在
上给出满足
的区间族
作为其剖分,令
为剖分的最大直径。
,那么称函数
在区间
上的黎曼和为:
当极限
存在时,定积分有定义:
直观地看,定积分描述的是函数图像
和直线
,
轴围成的曲边梯形的正向面积——即在
轴上方部分的面积被记为正,在
轴下方部分的面积被记为负。利用定积分,可以计算含曲边几何体的面积,变速运动的路程,变力做功等。

计算举例

例如,要计算:
可以先考虑将
剖分为
此时有
,于是可得:
从而有:
成立。
于是在等分点剖分下,由此计算得到
在上述问题中,对于一般的区间剖分,由于有理数在实数中稠密,可以得到:对于任意
和任意剖分,当
时,都存在一个等分点剖分,使得在该等分点剖分下得到的黎曼和
满足:
的任意性得,选取等分点剖分时,黎曼和的极限与定积分值相同。

可积性

函数在
上黎曼可积的充分必要条件有下面这些:
① 达布上下和的极限相等
对于剖分
,记
那么达布上和、达布下和分别定义为:
显然有
,如果
,那么可以得到
存在且为确定值,从而得知
存在,也即
上黎曼可积。
反过来,如果函数黎曼可积,那么由定积分的定义易知
成立。由此,该条件的充分性与必要性得证。
② 振幅黎曼和的极限为零
记号同上节,另记
,称为函数在区间
上的振幅。
显然上节的条件等价于
此即函数黎曼可积的另一个充要条件。
③ 勒贝格定理
定理表述为:一个有界函数黎曼可积的充分必要条件,是其不连续点集为零测集。
因其证明较为复杂,故此处略去。
由此可以很容易地证明黎曼函数
是黎曼可积的,因为它的不连续点集为
上的有理数集,这是零测的。

基本性质

函数定积分有如下基本性质。以下记号中
是在区间
上黎曼可积的函数,
是实数。利用上一节的三个充要条件可完成证明。
① 线性性
函数
上黎曼可积.
② 乘积可积
函数
上黎曼可积。
③ 可加性(对积分区间而言)
此条也是函数黎曼可积的充要条件:
④ 保号性
,则
推论1 如果在 [a, b] 上,有
,那么
推论2
[4]
⑥ 绝对可积
函数
上黎曼可积。并且有

定积分的求法

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微积分基本定理

微积分基本定理又称“牛顿-莱布尼兹公式”。这是求定积分最常用的方法,也是分析学的基本公式。只要能够计算出原函数,就可以通过该公式计算出定积分。对于一元函数
,如果满足:
那么有:
上式右侧有时也被记作
这个公式联系起了定积分与不定积分。任何能够求出不定积分的可积的待积函数,都可以用这种方法求出定积分值。
例如对于
,在
满足
,可以得到:
这意味着函数图像
与直线
,
,
轴围成的曲边梯形的面积为
另外,如果
存在,或者如果
仅在开区间
上有定义但
存在(又称
是函数的瑕点),那么只需用极限值替代,上式依然可以成立。
此时的积分被称为“反常积分”。

换元法

在定积分中,令
,有如下的换元公式:
利用该式可以将待积表达式中整体特征较明显的式子作为
,换元为
,从而可能使得式子变得更为简洁,或者变为原函数较好找到的形式。
例如:
此外还有换元公式:
此法适用于待积函数中具有形如
等的部分,可以做换元
,将函数自变量替换为更便于利用三角恒等式的形式。
例如:

分部积分法

定积分中有分部积分公式。对于函数
有:
例如当
时有:

其他方法

可以引入含参变量积分、复积分、重积分等方法,用于计算定积分。
除了上述方法以外,实际应用中可能会引入计算机直接对黎曼和进行计算,得到一个近似值。

应用举例

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几何中的应用

很多包含曲线、曲面的几何图形都可以用定积分进行计算。 [1-2]
计算图形面积
例如欲计算直线
与抛物线
围成的面积:
直线与抛物线相交
首先可以求出两交点坐标为
,于是由定积分的几何意义可知所求面积为:
对于参数方程给定的图形,例如欲求由摆线
的一拱
轴围成的面积:
摆线
由参数方程决定的图形面积应为:
代入参数方程即得所求面积:
对于极坐标方程给定的图形,例如欲求由心脏线
围成图形的面积:
心脏线
依定义,所求面积为:
计算几何体体积
例如可以用定积分推导球的体积公式。设一个半径为
,球心在原点的球。
一方面,可以将球看成是半圆绕着直径所在直线为轴,旋转一圈形成的几何体。依此列式求得其体积公式为:
另一方面,可以将球看成是由一系列球壳形成的几何体。依此列式求得其体积公式为:
像这样,选定一个变量,再将几何体依该变量切割成各个截面,最后将截面积分计算,即得体积。
计算曲线弧长
对于可求弧长的曲线,假设其有参数方程
,那么弧长公式为:
平面直角坐标方程和极坐标方程为参数方程的特例,直接代入可得:
,对于
.
例如可以应用上述公式求半径为
,圆心在原点的圆的周长。
如果代入直角坐标方程可得:
如果代入极坐标方程可得:
如应用此法对椭圆求周长,将会得到的积分式被称作“椭圆积分”。其待积函数的原函数无法用初等函数表示出。
另外还有一部分曲线是不可求长的,例如
,代入上述公式后,求出的值为无穷大。

物理中的应用

下面举几个在物理中应用定积分的例子。
计算质心
对于一阶导连续的曲线
,在连续的密度函数
下,质心为:
计算形心
对于连续函数的曲线
,和直线
围成的图形的形心为:
计算变力做功
对于随位移而变化的力
,这段位移内其做功为:
对于其余需要在一段时间(或一段空间)内累加物理量的情形,也用相似的方法。

近似计算

定积分在实际应用中可采用近似方法计算。
矩形估计
前面已经介绍了用足够小的等分点剖分时的黎曼和来作为定积分的近似值。具体来说:
用此法得到的误差能被剖分直径控制。
梯形估计
对于一个区间上的函数,可以用线性函数去逼近,即:
用此法得到的误差能被剖分直径的平方控制。
进一步推广,可以用
次多项式逼近一个区间上的待积函数,得到误差能被剖分直径的
次方控制的近似值。
高斯-勒让德(Gauss-Legendre)积分公式
这是一种更高阶的逼近,并且剖分不均匀。具体地:
其中
上勒让德(Legendre)多项式
的各零点。

其它应用

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与微分中值定理类似,定积分也有其对应的中值定理。此外泰勒展开公式中的余项也可以用定积分式来表示。

第一积分中值定理

设函数
上连续,函数
上可积且不变号,则
,使得
,可以得到推论:函数
上连续,则
,使得
利用该定理也可以求极限,例如求:
,可以利用定理,任取
,使得:
的任意性,对式子取极限即得

第二积分中值定理

设函数
上可积,函数
上恒有
,则:
上递减,则
,使得
上递增,则
,使得
该定理有推论如下:设函数
上可积,函数
上单调,则存在
,使得

泰勒公式的积分余项

对于泰勒公式:
,其中的余项
时的高阶无穷小(将
写成
的形式被称为皮亚诺(Piano)余项)。
余项有很多种表达形式,例如拉格朗日(Lagrange)余项:
又如柯西(Cauchy)余项:
除此以外,还有用定积分形式表达的积分余项: [3]