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超橢圓曲線
鎖定
- 中文名
- 超橢圓曲線
- 外文名
- hyperelliptic curve
- 基本形式
- y^2+h(x)y=f(y)
- 應 用
- 超橢圓曲線密碼
- 定 義
- 設C是代數曲線,如果存在一個從C到射影直線P¹的二次覆蓋(即全純的2:1滿射)
超橢圓曲線簡介
超橢圓曲線是仿射曲線
的非奇異射影模型,這裏f(x)是一個沒有重根的次數為奇數n的多項式(偶次數2k的情形可歸結為奇次數2k-1的情形)。超橢圓曲線的函數域(超橢圓函數域)是有理函數域的二次擴張;從這個意義上講它是除了有理函數域之外的最簡單的代數函數域。
虧格為2的曲線必定是超橢圓曲線。 超橢圓曲線的曲線自同構羣Aut(C)包含一個對合映射,從而誘導出到P¹的二次覆蓋,對合映射的不動點恰好就是二次覆蓋的分歧點。Aut(C)可以由P¹的曲線自同構羣誘導出來。對於域K,虧格為g超橢圓曲線的基本形式是
,其中f(x)為2g+1次多項式,h(x)是次數小於等於g的多項式。多項式的係數都在K上。
超橢圓曲線判定
超橢圓曲線由二次除子的一堆線性系
的存在性所判定。
這樣的線性系定義了一個該曲線到射影直線上的二次態射。超橢圓曲線的虧格為
時,對不同的奇數n這些超橢圓曲線不雙有理等價。
當n=1時是射影直線;
當n=3時是橢圓曲線,按慣例虧格0和1的曲線不稱為超橢圓曲線。
超橢圓曲線應用
超橢圓曲線在密碼學中有很大的應用。
美國華盛頓大學教授Neal Koblitz首先發明瞭超橢圓曲線密碼。超橢圓曲線密碼是利用超橢圓曲線C的Jacobian上的離散對數問題(HECDLP)的“不可行性”。但是隻有虧格為2的超橢圓曲線密碼的安全性能和橢圓曲線密碼的安全性媲美。無論是域K過小或者虧格g過大都會使得超橢圓曲線密碼不安全。