不變量理論

希爾伯特在1892年之前主要研究不變量理論；他對這一課題最重要的貢獻是在1890和1893年發表的。要理解它們在不變量理論歷史中的地位，一個很有用的方法就是讀一讀希爾伯特自己為1893年的國際數學家大會準備的對這一理論的介紹。

布爾、凱萊和西爾維斯特論述不變量理論的早期作品發表之後的30年裏，很多時間耗在計算特殊不變量上。除了前面提到的英國數學家之外，對這項活動做出重要貢獻的還有克萊布什和齊格弗裏德·海因裏希·阿龍霍爾德(1819～1884)，他們發現了三元三次形式的不變量，並確立了“符號”計算法。把這項工作系統化，就是要找出不變量的完整系統或基礎；就是説，給定一個n次的x的形式，求出有理整數不變量及共變式的最小個數，使得任何其他有理整數不變量或共變式能夠用完全集的有理係數表示為一個有理整數形式。埃爾朗根大學的數學教授保羅·戈爾丹(1837～1912)證明了存在二元形式的有限完全集。他表明，每個二元形式都有一個不變量與共變式的有限完全系，而且，任何二元形式的有限系都有這樣一個系。戈爾丹的證明很笨拙，但顯示了完全系如何能夠計算；1886年，弗蘭茲-梅爾滕斯(1840～1927)提供了一個更流暢的歸納證明，並沒有顯示系。希爾伯特1888年的著名成果更加一般，被稱作“基本定理”。它作為論文《論代數形式理論》的定理1發表在1890年的《數學年刊》上。照例，希爾伯特把一個代數形式定義為一個某些變量的整有理齊次函數，它的係數是某個“有理域”中的數。該定理聲稱：對於任何有n個變量

的形式所組成的無窮序列

，都存在一個數m，使得該序列中的任何一個形式都可以表示為

式中，A_i是有相同n個變量的形式。希爾伯特把這個結果應用於證明對於任意多個變量的形式所組成的系，存在一個不變量的有限完全系。他在1893年發表的一篇很有影響的論文《論不變量的完全系》中，發展出瞭解決不變量理論問題的新方法。他強調，這一方法根本上不同於他的前輩們的方法，因為他把代數不變量理論當作代數函數域的一般理論的組成部分來處理。 ^[1] 

由幾何學知道，射影變換保持直線、直線與點的結合性以及直線上點列的交比不變，仿射變換除具有以上不變性還保持了直線的平行性，直線上點列的簡比不變。歐氏變換除具有仿射不變性外還保持兩條直線的夾角不變，任意兩點的距離不變。這些不變量都是由一些幾何元素的參數計算出來的量，如由點的座標計算出兩點的距離等。

不變量的數學定義：一組幾何元素由

個參數組成的向量

表示．若

為某一變換，

，

為某一變換羣，這組幾何元素經

變換後，其參數組成的向量由

變為

(

均為

維向量)，如果

，則稱函數

為在變換羣

下的不變量。

由定義可見，

為由參數計算出來的標量，可以是實數或複數，而且只要變換

屬於同一變換羣

，則

與變換

的具體參數無關。 ^[2] 

對於平面物體，它在畫面上的投影也為兩維平面，它們之間的關係為仿射變換或射影變換。若空間平面有n個點，

，假設這些點在圖像畫面上的投影點集合為

。如果變換為射影變換，則有

，由於是兩維射影變換，則M為3×3的可逆矩陣，該矩陣方程包含描述

與

關係的2n個方程，而M矩陣包含3×3-1=8個獨立參數，若2n>8，則可在2n個方程中選取8個方程解出M矩陣係數，於是這些係數被表述為

與

的函數，將這些係數代入剩下的2n-8個方程中得到與M矩陣元素無關的恆等式，記為

若上式可分離為

，則用

計算的

與用

計算的

恆等，即

就是所求的不變量，這説明不變量個數不超過2n-8個。顯然，這種估算不變量個數的方法可以推廣到n維空間。若幾何元素由k個獨立參數描述，對n維射影變換應有

個獨立參數，當

時應有

個不變量。

上面這種不變量個數的估計是不準確的，因為由變換前後參數得到的k個方程不一定完全獨立。例如，當平面上5個點有4個共線時，則有一些方程不獨立，實際上，這種情況只有一個不變量，即共線4點的交比，而且將上述的

變成

的形式也不一定成立，因而這種估計方法對不變量個數確定僅提供一種指導意義。對於仿射變換，這種方法同樣可以估算不變量的個數，如對二維平面，幾何元素由n個獨立參數描述，仿射變換應有6個獨立參數，因而不變量的個數應為2n-6。

具體思想是：對於三維物體，它在畫面上的投影圖像為二維平面，因而，這是一個從三維空間到二維空間的射影變換，變換關係為

，其中U為圖像平面上投影點的齊次座標，X為三維空間點的齊次座標，M為3×4矩陣。若有空間點集

，其投影點集為

，按上節所求不變量個數的方法應有2n-(3×4-1)=2n-11個不變量，但是分析表明不能從f_k=0的式子中分解出

的形式。一般在什麼情況下存在不變量有待進一步研究，由於大部分圖像都是三維物體在平面上的投影所成，因而在理論上解決不變量的存在機制具有重要意義。

如果物體的大小較之與攝像機的距離很小，此時的射影變換可近似看作仿射變換或平面物體的射影變換，這種情況就可以計算出目標的不變量。 ^[2] 

假設物體都是一些二維平面物體，且所有物體都在同一空間平面上，圖像平面與物體平面平行，攝像機與物體平面距離較遠，投影近似認為是平行投影。在這些假設下，同一物體不同圖像間只差一個旋轉、平移和尺度變換，即同一物體的不同圖像的差別是由於物體的擺設的方向不同、位置不同或攝像機的間距不同所引起的尺度不同，則可以找到一些不變量只與物體的形狀有關而與它們的位置、方向和尺度無關，分別稱之為旋轉不變量、平移不變量和尺度不變量。 ^[2] 

矩不變量是歐氏變換羣下的整體不變量。容易證明這些不變量為旋轉、平移和尺度不變量，但是這些不變量受噪音影響大，不同矩的動態範圍廣。由於矩的計算涉及高階矩，而且其積分範圍在整個區域進行，因而計算量大，但是此積分區域的形狀是由邊界唯一確定的，據此，有的文獻提出了許多矩的快速算法。此後，許多文獻又提出了各種正交矩以及仿射不變矩等方法識別物體。

是指用傅氏變換來描述圖形的外邊界作為識別物體的特徵不變量，它將邊界點(x，y)看作為一個複數x+iy，則邊界序列形成一個函數，對其進行快速傅氏變換(FFT)，將得到的係數作為目標特徵來識別物體。這種方法的優點是通常使用傅氏變換的前幾項就可以相當準確的鑑別不同的形狀，但是，傅氏變換需實現對邊界的大小、旋轉和起點的規範化才能成為歐氏變換下的不變量。

上面兩個不變量都是物體圖形的全局不變量，還有許多文獻提出了大量的局部不變量，它們一般是根據目標邊界的曲線特徵來識別物體的，如將大於某一給定數值的邊界點的曲率值作為特徵不變量來識別物體。這些局部不變量對噪音敏感，受人為的主觀因素影響強，而且計算量也非常大。但是它可以識別由於遮擋、變形等引起的缺失部分物體信息的目標，而全局不變量沒有這種優點。

交比不變量是射影變換中的基本不變量。設給定4個共線點A，B，C，D，則交比

是射影不變量。記為Cr(AB，CD)，其中AB表示從點A到點B的線性距離。交比Cr(AB，CD)與四個點A，B，C，D的排列順序有關，顯然這四個點共有24種排列方法，但是，其交比值只有6種不同。

相交於一點的4條共面線束和4個共線點對偶，因此，共點的4條共面線束也有交比不變量。對於5條共面線存在兩個射影不變量：

其中

是矩陣

的行列式，而

是直線的齊次方程的線座標

。由於線點的對偶性，也可以計算出共面5點的射影不變量，這要求其中任意三點不共線，此時的

為點的齊次座標，這種不變量在計算機視覺中有重要應用。

對於n元齊次多項式，設向量X為

，對多項式p(X)進行線性變換T有P(X)=p(TX)。P(X)的一個單項式的係數由p(TX)對應的單項式係數確定。如果p(X)，P(X)的係數分別為向量p和P，則有不變量

，其中T是變換矩陣，|T|是矩陣T的行列式，w為一實數。

對於一個函數有n個自變量，例如一對二次曲線的一個投影不變量函數I(C₁，C₂)，其中C₁，C₂分別為二次曲線向量表示的對應矩陣。給出兩個二次曲線的方程及其不變量，但是很難判斷C₁，C₂所對應的二次曲線，為了解決這個問題，可以構造這種不變量的對稱函數：

容易得出這種不變量不受C₁，C₂順序的影響。 ^[2] 

射影微分不變量是曲線上關於單點導數和位置的一個非常複雜的函數。它是一個局部不變量，通過研究曲線射影變換前後曲線的曲率、撓率等局部特徵的函數關係獲得，但是由於這種不變量受噪音影響大、計算複雜，實際應用並不常見。 ^[2]