n維射影變換

定義1 n維射影空間的點變換若滿足

，則稱變換為射影變換，又稱直射變換，其中，

為標量，x與y分別為變換前後空間點的齊次座標，

，M為滿秩的(n+1)×(n+1)矩陣。

我們以一維射影變換為例寫出上述變換：

由上式得

將以上兩式相除得到變換前後點的非齊次座標的關係：

由式(4)可知，射影變換中，非齊次座標的變換關係是非線性的。一般地，n維射影變換的矩陣等式中包含了n+1個方程，消去

後，得到變換前後非齊次座標的n個方程。

由定義，射影變換由M矩陣決定，而M矩陣有(n+1)²個參數，但M與kM表示同一變換(因等式兩邊都是齊次座標)，故M的獨立參數為(n+1)²-1 ^[2]  。

定理1由式(1)表達的變換保持直線上點列的交比不變，即

其中A，B，C，D與A'，B’，C’，D'分別為變換前後的對應點

與

分別為這些點的非齊次射影座標。事實上，交比中的每一項應是兩點間非齊次射影座標的差，只有當直線上的座標系為歐氏座標系時，才等於兩點間的距離。

射影變換的幾何定義與代數定義是一致的，這一點可由以下定理得到：

定理2 保持點列的交比不變是射影變換的充分必要條件。

由幾何方法定義的射影變換和由代數方法定義的射影變換都保持交比不變，故由定理2知，它們是同一種變換 ^[2]  。

仿射變換是射影變換的特例，在射影幾何中已證明，如果射影變換使無窮遠點仍變換為無窮遠點，則變換為仿射變換，在上述一維變換中，若x為無窮遠點，則x₂=0，於是，上述仿射變換的條件變為，對任何滿足x₂=0的點，變換後有y₂=0。於是，由式(3)可容易地推出，該條件相當於m₂₁=0。一般地，對n維射影變換，仿射變換的條件變為

，即M矩陣的最後一行的前n個元素等於零。以兩維為例，我們有：

上式可寫成

消去

並記

得到非齊次座標的變換形式：

將式(6)與射影變換中非齊次座標的變換關係相比較(見式4)，可見，用非齊次座標表示的射影變換為非線性變換，而仿射變換為線性變換，我們將式(6)寫成矩陣形式，並給出仿射變換的定義。

定義2 空間點的非齊次座標的如下變換稱為仿射變換：

其中

為n維向量，分別為變換前後的點的非齊次座標，M為n×n滿秩矩陣。顯然，歐氏變換為仿射變換的特例，即當M為單位正交矩陣時，式(7)描述的變換即為歐氏空間中的旋轉平移變換.從以上定義可以看到，仿射變換是射影變換的特例，歐氏變換則又是仿射變換的特例 ^[2]  。