代數函數域

一個域上的 n(n≥1) 元有理函數域的有限擴張。設 K 是一個在任意域 F 上經添加有限個元素 x₁,…,x_n,x_n+1,…,x_s所生成的域，其中 x₁,…,x_n(n≥1) 在 F 上是代數獨立的；x_n+1,…,x_s關於 F(x₁,…,x_n) 是代數元，則稱 K 是以 F 為係數域的 n 元代數函數域。

當 n=1 時，簡稱 K 為 F 上的代數函數域，記作 K/F 。 K 中所有關於 F 的代數元成一個子域 F┡ ，稱之為 K/F 的常量域。為了方便起見，設 F 本身就是 K/F 的常量域。

除子在代數函數域 K/F 中， K 的一個不平凡賦值，若在 F 上是平凡的，則稱為 K/F 的一個賦值，由 K/F 的離散賦值所成的等價類，稱之為 K/F 的素除子。這種素除子有無限多個。作形式冪積

的積分用有限的形式表出，於是引起對代數函數域的研究，這裏 φ(x,y) 是含 x、y 的有理式； y 與 x 滿足整關係式 ƒ(x,y)=0 。

代數函數的理論，歷來就有幾種不同的描述方法，其中之一屬於“算術-代數”這一方向，即所謂代數函數域。它始於19世紀80年代R.戴德金和H.韋伯的工作。自20世紀以來，隨着抽象代數學的發展，戴德金和韋伯的理論，先後經E.諾特、 H.哈塞、F.K.施密特和 A.韋伊以及其他學者的逐步簡化和推廣，對域F的限制得以逐步解除，使這一理論的許多內容包括黎曼-羅赫定理，可以在F為任意域的情況下來建立。 ^[1-2] 

(extension of a field)

域論的基本概念之一，若域 K 包含域 F 作為它的子域，則稱 K 是 F 的一個擴張（或擴域），F 稱為基域，常記為 K/F，此時，K 可以看成 F 上的向量空間，研究擴域 K（相對於基域 F）的代數性質，是域論研究的一個基本內容。

若域 E 是 F 的擴域，K 是 E 的擴域，則稱 E 是域擴張 K/F 是域擴張，S 是 K 的子集，且 F(S) 是 K 的含 F 與 S 的最小子域，稱F(S) 為 F 添加 S 的擴域，當 S={a₁,a₂,...,a_n} 是有限集合時，F(a₁,a₂,...,a_n) 稱為添加 a₁,a₂,...,a_n 於 F 的有限生成擴域（或者 F 的有限生成擴張），它由一切形如

的元組成，其中

是 F 上的 n 元多項式且

由於這個原因，當F(a₁,a₂,...,a_n) 關於 F 的超越次數≥ 1 時，F(a₁,a₂,...,a_n) 也稱為 F 上的代數函數域，當 S={a} 時，稱 F(a) 為 F 的單擴張域，也稱本原擴域，F 的有限代數擴域 K 是單擴張域的充分必要條件是，擴域 K與基域間存在有限箇中間域，這是施泰尼茨(Steinitz,E.)證明的。