變換羣

設G是一個非空集合，G的元素間定義一種運算“○”。如果G滿足以下的條件： ^[1] 

1.（運算封閉性）對於G中的任意兩個元素a、b，恆有a○b∈G；

2.（結合律）對於G中的任意三個元素a、b、c，恆有(a○b)○c=a○(b○c)；

3.（單位元）存在單位元e∈G，使得對於G中的任意元素a，都有e○a=a；

4.（逆元）對於G中的任意元素a,存在a的逆元b∈G，使得b○a=e。

則稱G關於運算“○”作為一個羣。簡稱G是一個羣。

設A是一個非空集合，A的若干個一一變換對於變換的乘法所作成的羣稱為A的一個變換羣。

一組變換，對變換的乘積構成的羣。設G為M上的有限或無限個變換的集合，若滿足下面兩個條件：①集合G中任意兩個變換的乘積仍屬於G；②集合G中每一個變換必有其逆變換，而且這個逆變換也屬於G，則稱G為M上的一個變換羣。

例如，平移變換可以構成一個羣：平面上任意兩個平移變換的積仍是平移變換;每個平移變換都有逆變換，這個逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換(參見“平移變換的性質”).

用變換羣來研究對應的幾何學的觀點，是由德國數學家克萊茵首先提出來的。1872年，克萊茵在埃爾朗根大學的教授就職演講中，提出題為《關於近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換羣在幾何中的主導作用.他把到當時為止已發現的所有的幾何，統一在變換羣的觀點之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個變換羣之下研究圖形不變性質與不變量的一門科學.這種觀點突出了變換羣在研討幾何中的地位，為用近代數學方法研究幾何學開闢了道路，因此後來把它簡稱為《埃爾朗根綱領》。

按照變換羣的觀點，幾何學可以這樣分類：研究射影變換羣、仿射變換羣、相似變換羣、正交變換羣下不變性質和不變量的幾何學分別是射影幾何學、仿射幾何學、拋物幾何學、歐氏幾何學。正交變換羣也稱為運動羣，歐氏幾何學的主要內容就是研究運動羣下不變性質和不變量的幾何學。近代發展很快、應用越來越廣的一門學科——拓撲學，就是研究拓撲變換下不變性質和不變量的幾何學。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足： ^[2] 

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

克萊因是著名德國數學家、數學史家、物理學家。在拓撲學、幾何學上有很多貢獻。他認識到羣論的重要性，把羣的概念廣泛應用於很多數學分支。在1872年，發表了著名的《埃爾蘭根綱領》。他提出了按照在變換羣下保持不變的性質，來對幾何學加以分類的觀點，用羣論統一了幾何學。對近代幾何學的發展有深遠的影響，併為狹義相對論的創立準備了條件。1886年以後，長期在哥廷根大學任教，是哥廷根學派全盛時期的傑出代表。他關於數學統一性的觀點，對希爾伯特有很大的影響。他還提出，數學應該與實際緊密聯繫。他組織了許多數學討論班，通過教學活動使學生對數學的整體得到全面的認識。他在教定理時，只講證明的梗概，而把證明留給學生自己去完成。他首先倡導改革中等教育的數學內容，對近代數學教育有重要的影響。 ^[3] 

簡稱射影羣。是一類基本的變換羣。即由射影空間中全體射影變換所構成的變換羣。例如平面上全體射影變換構成平面上的射影羣。空間中全體射影變換構成空間中的射影羣。研究在射影羣下不變性質與不變量的幾何稱為射影幾何。

簡稱仿射羣。一類基本的變換羣。即由仿射空間中全體仿射變換所構成的變換羣。例如，平面上的全體仿射變換構成平面上的仿射變換羣，它是平面射影變換中以無窮遠直線為絕對形的自同構羣。空間中全體仿射變換構成空間的仿射變換羣，它是空間射影變換中以無窮遠平面為絕對形的自同構羣。研究在仿射羣下不變性質與不變量的幾何稱為仿射幾何。

亦稱拋物度量羣。簡稱相似羣。一類基本的變換羣.平面上所有相似變換的集合構成羣，稱為相似變換羣。它是一個四維羣。仿射變換羣的子羣。在仿射變換中若保持一對點I(1，i，0)，J(1，-i，0)不變，則為相似變換。相似變換保持同素性，結合性及共線三點的單比不變，還保持兩直線所構成的角度不變。相似變換把一個圖形變為與它相似的圖形。與相似變換羣相對應的幾何學稱為相似幾何學或拋物幾何學。

亦稱運動羣或度量羣。簡稱正交羣。一類基本的變換羣。即全體正交變換所構成的變換羣。例如，平面上全體正交變換的集合構成平面上的正交羣，空間中正交變換的全體構成空間中的正交羣。平面上(空間中)的正交羣是平面上(空間中)仿射羣的子羣。研究正交羣下不變性質與不變量的幾何稱為歐氏幾何或度量幾何。 ^[4]