仿射變換羣

仿射變換羣(affine transformation group)簡稱仿射羣。是一類基本的變換羣。即由仿射空間中全體仿射變換所構成的變換羣。例如，平面上的全體仿射變換構成平面上的仿射變換羣，它是平面射影變換中以無窮遠直線為絕對形的自同構羣。空間中全體仿射變換構成空間的仿射變換羣，它是空間射影變換中以無窮遠平面為絕對形的自同構羣。.研究在仿射羣下不變性質與不變量的幾何稱為仿射幾何。 ^[2] 

仿射空間A的所有自同構組成A的置換羣的子羣，稱為A的仿射羣，記為GA(A)。 使A的任一自同構u與E的聯繫於u的自同構f相對應的映射是從仿射羣GA(A)到線性羣GL(E)上的同態，它的核是由平移構成的。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

置換羣是指由置換組成的羣。n元集合Ω={a₁，a₂，…，a_n}到它自身的一個一一映射，稱為Ω上的一個置換或n元置換。

有限羣在其形成時期幾乎完全在置換羣的形式下進行研究，拉格朗日和魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關於方程可解性的著作裏，引進了n個根的一些函數進行研究，開創了置換羣的子羣的研究，得到“子羣的階整除羣的階”這一重要結果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中，對置換羣進行了詳細的考察，引進了羣的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下，柯西發表了關於置換羣的重要文章(1815年)。他以方程論為背景，證明了不存在n個字母(n次)的羣，使得它對n個字母的整個對稱羣的指數小於不超過n的最大素數，除非這個指數是2或1。伽羅瓦對置換羣的理論做出了最重要的貢獻，他引進了正規子羣、兩個羣同構、單羣與合成羣等概念，發展了置換羣的理論。可惜他的工作沒有及時為數學界所瞭解。柯西在1844—1846年間，寫了一大批文章全力研究置換羣。他把許多已有的結果系統化，證明了伽羅瓦的斷言：每個有限(置換)羣，如果它的階可被一個素數p除盡，就必定至少包含一個p階子羣。他還研究了n個字母的函數在字母交換下所能取的形式值(即非數字值)，並找出一個函數，使其取給定數目的值。

置換羣的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當整理在他的《置換與代數方程》之中，他本人還發展了置換羣理論及其應用。 ^[3] 

變換羣是指一組變換，對變換的乘積構成的羣。設G為M上的有限或無限個變換的集合，若滿足下面兩個條件：①集合G中任意兩個變換的乘積仍屬於G；②集合G中每一個變換必有其逆變換，而且這個逆變換也屬於G，則稱G為M上的一個變換羣。

例如，平移變換可以構成一個羣：平面上任意兩個平移變換的積仍是平移變換;每個平移變換都有逆變換，這個逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換。

用變換羣來研究對應的幾何學的觀點，是由德國數學家克萊茵首先提出來的。1872年，克萊茵在埃爾朗根大學的教授就職演講中，提出題為《關於近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換羣在幾何中的主導作用.他把到當時為止已發現的所有的幾何，統一在變換羣的觀點之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個變換羣之下研究圖形不變性質與不變量的一門科學.這種觀點突出了變換羣在研討幾何中的地位，為用近代數學方法研究幾何學開闢了道路，因此後來把它簡稱為《埃爾朗根綱領》.

按照變換羣的觀點，幾何學可以這樣分類：研究射影變換羣、仿射變換羣、相似變換羣、正交變換羣下不變性質和不變量的幾何學分別是射影幾何學、仿射幾何學、拋物幾何學、歐氏幾何學.正交變換羣也稱為運動羣，歐氏幾何學的主要內容就是研究運動羣下不變性質和不變量的幾何學.近代發展很快、應用越來越廣的一門學科——拓撲學，就是研究拓撲變換下不變性質和不變量的幾何學。

仿射空間是通常三維向量空間的推廣。是這樣的點集合A={P，Q，…}，A中的點與一個n維線性空間V中的向量滿足以下的關係：

1.對A中任意有序點對P，Q，存在V中一個向量(稱為P，Q的差向量)，記為

。

2.對A中任意三個點P，Q，R有：

3.對每個P∈A和每個α∈V，存在Q∈A使：

這時也稱A為關於V的n維仿射空間，而稱V為差空間。特別地，若取A=V，則上述三條件都是滿足的。因此，V按此定義就是一個n維仿射空間。

仿射變換是一種幾何變換，若某一變換把共線的點變為同順序的共線點，並且直線上任意三點A，B，C與它們的像點A′，B′，C′的簡單比相等，即

，則稱這種平面到它自身的變換為仿射變換。若圖形M經仿射變換得圖形M′，則稱圖形M仿射等價於圖形M′。

例如，在兩個平面π和π′，一直線l與π，π′都不平行。在平面π上任取一點A，過點A作直線l的平行線，交平面π′於點A′，則點A′是平面π上的點A在平面π′上的平行投影(圖1)。平面π上各點，經過一系列的平行投影后變到π自身(圖2)，這就是一個平面π到它自身的一個仿射變換。 ^[4]