代數方程

初中代數包括數、式、方程與函數四部分，而代數式與代數方程又是其中兩個重要內容，它們是既相關聯而又有本質區別的。若從它們的整體結構看，有同有異大體上是相似的。

從字面上看，代數式與代數方程只差了“式”與“方程”，本質卻不同。代數式是用基本的運算符號把數和表示數的字母連結而成的式子。這樣代數式的變形與代數方程的變形就有了本質的區別。代數式的變形是恆等變形。恆等變形的理論依據是運算法則、運算性質、添括號去括號法則、因式分解的幾種方法等。而代數方程的變形則是同解變形。

1、有理方程

（1）整式方程

（2）分式方程

2、根式方程

代數方程的符號（signs for algebraic equations）是指方程中所涉及的各種符號，包括未知數符號及其他運 算符號。

一元代數方程的求解歷史可以追溯到公元2000 年左右的古巴比倫時代，在漫長的求解歷史中有很多偉大的數學家都為此做出了傑出的貢獻，其中不乏許多關鍵性的人物:花拉子米、卡爾達諾、費拉里、拉格朗日、阿貝爾、伽羅瓦等;眾多數學家中法國的拉格朗日是較為突出的一位，他對代數方程的求解做出了轉折性的貢獻，從此代數方程求解發生了巨大的變化，並由此促進了代數學的新生。

1770—1771 年拉格朗日發表了一篇長達217頁的論文 Réflexions sur la Résolution algébrique deséquations，在這篇文章中拉格朗日總結了前人求解代數方程的各種方法並提出了自己的觀點。拉格朗日對代數方程求解的主要貢獻是:

1)提出了輔助方程理論即求解二次方程時需要預解一個一次的輔助方程，求解三次方程時需要預解一個二次的輔助方程，求解四次方程時需要預解一個三次的輔助方程;對於解二次方程，其輔助方程的解為原二次方程根的函數，並且在其根的置換下只能取一個值;對於解三次方程，其輔助方程的解為原三次方程根的函數，並且在其根的置換下只能取兩個值;對於解四次方程，其輔助方程的解為原四次方程根的函數，並且在其根的置換下只能取三個值;因此，解方程最為關鍵的一步就是解原方程的輔助方程，那麼在解五次方程時如果能預解一個四次的輔助方程，那麼原五次方程也許就可解;進而解一個n次的方程，如果能預解一個n-1次的輔助方程，則原次方程或許就可解。

2)提出了用置換的思想進行代數方程求解，並提出預解式的概念，即:解代數方程實際是要求解它的輔助方程，因此需要尋找一個預解式，該預解式在原方程根的置換下取到的不同值的個數即為輔助方程的次數。如果能找到合適的預解式，那麼就得到了輔助方程(在這裏輔助方程的係數可由原方程的係數表示)，解答了輔助方程就可以順利地得到原方程的解。

拉格朗日用置換的思想進行代數方程求解是代數方程求解史中一個偉大的轉折點，它開闢了代數方程求解的新紀元。他徹底改變了人們的思維，使數學家從單純地尋找代數技巧進行方程求解轉變為尋找一種一般的、通用的方法——置換的思想進行方程求解;拉格朗日得出了一系列重要的代數知識，比如域的概念、置換羣概念的雛形這些知識被以後的數學家魯菲尼、高斯、阿貝爾、伽羅瓦等恰當的運用使代數方程求解問題最終得以解決，並推動了代數學本身的發展。所以，拉格朗日的工作對以後的代數學家產生了巨大的影響，直至今日還有很多的數學家在研讀拉格朗日的著作。 ^[1]