正交變換羣

歐氏平面內的所有正交變換的集合構成羣 ^[2]  。

證明：

(1)封閉性：設

是兩個正交變換，它們的係數方陣分別為

，則

的係數方陣為

根據方陣的乘法法則，我們有：

但

所以

因此

仍是正交變換。

(2)逆元素：設A是正交變換T的方陣，且B是它的逆變換的方陣，則有：

因為

， 所以

，故

， 所以

因此其逆變換仍是正交變換。

由(1)(2)可得正交變換構成羣 ^[2]  。

正交變換就是運動，可以説所謂歐氏幾何就是正交變換羣下的幾何。即，研究在正交變換之下有那些不變的性質和不變的量。由正交變換的定義，“距離”是基本的不變量，由此可以推出一系列其他的不變性叫不變量。 · ·正交變換把任意圖形F變成與它合同的圖形F‘，但正交變換是構成羣的，因此圖形的合同關係具有下列性質： ·

1)圖形F與自身常合同(反身性)，恆等變換保證了這一性質。

2)如果圖形F合同於F‘，則圖形F’也合同於F(對稱性)，逆變換保證了這一性質。

3)如果圖形F₁合同於圖形F₂，圖形F₂合同於圖形F₃，則圖形F₁合同於圖形F₃(傳遞性)，變換積保證了這一性質。

因此，圖形的合同關係是一個等價關係。按着這—關係可將平面、(空間)內的所有圖形進行分類，凡是合同的圖形都屬於同一個等價類，其中所有的圖形都具有共同的幾何性質，它們是正交變換下的不變性質；反過來，正交變換下的不變性質，也正是同一等價類圖形的共同性質。

正交變換的幾何就是研究正交變換下各等價類的共同性質，也就是正交變換下圖形的不變性質和不變量。例如結合關係、順序關係、合同關係、度量關係、平行關係，而這些關係都是歐幾里得公理系統的推論，具體地説，這些不變性質和不變量也就是屬於，介於、相交、平行、垂直、合同、角、正多邊形、相似形、圓和其它二次曲線，長度、面積等，以及把這平面幾何的性質推廣到空間的一些性質等等，它們都是歐氏幾何所研究的幾何性質和量。可見，正交變換羣的幾何學就是歐氏幾何學 ^[3]  。

定義 平面上(或空間中)保持兩點間距離不變的變換，叫做正交變換 ^[3]  。

顯然，運動是正交變換。

正交變換有下列性質：

(1)兩個正交變換的乘積是正交變換，正交變換的逆變換還是正交變換，這些都不難用正交變換的定義驗證，容易看出正交變換的全體構成一個羣，叫做正交變換羣。

(2)正交變換把直線變成直線，為此，我們只需要證明，正交變換把共線的三點變成共線的三點．設P、Q、R是平面上順序的三點，那麼，它們在同一直線上的充要條件是：|PQ|+|QR|=|PR|。因為正交變換保持距離不變，所以變換之後，這個等式仍然成立，因此還在一條直線上。

利用上面的事實可以證明，空間中的正交變換還把平面變成平面。

(3)正交變換把相交直線(或平面)變成相交直線(或平面)，平行直線(或平面)變成平行直線(或平面)。

平行直線(或平面)沒有公共點，它們經過正交變換之後，根據變換是一一的和性質(2)，仍然變成沒有公共點的直線(或平面)，即仍舊是平行直線(或平面) ^[3]  。

(4)正交變換保持線段的分比不變。

由正交變換保持距離不變這一事實即可推出。

由性質(4)和(2)，正交變換把線段變成線段，因為線段上的任意點把線段分成定比A，經過正交變換，A保持不變，所以線段上的點仍變成線段上的點，由此推出線段變成線段。

(5)正交變換保持角度不變。

實際上，設∠AOB(A、B是在角兩邊上任取的點)在正交變換下變成∠A'O'B'。因為正交變換保持距離不變，所以△AOB與△A'O'B'的對應邊相等，於是

因此∠AOB=∠A'O'B'。

(6)正交變換把直角座標系變成直角座標系，而且任意點M的象M'在新座標系裏的座標與點M在原座標系裏的座標相同 ^[3]  。

因為正交變換即保持距離又保持角度不變，因此它把直角座標系變為直角座標系(圖1)。

設點M的座標為(x，y)，因為正交變換保持分比不變，因而有

這表明M'在變換後的座標系中的座標與M在原座標系中的座標相同。其中，E₁、E₂分別是X軸與Y軸上的單位點；M₁、M₂分別是M在X軸與Y軸上的正投影。

對於空間的正交變換，也有同樣的結果 ^[3]  。