埃爾朗根綱領

1872年,德國數學家克萊因在埃爾朗根大學做教授就職演講時，提出題為《關於近代幾何研究的比較考察》的論文。他提出，所謂幾何學，就是研究圖形對於某類變換保持不變的性質的學問，按照這一觀點，所謂圖形的“幾何性質”便是它們對於某變換羣保持不變的性質。換言之，有多少種不同的變換羣，就有多少種不同的幾何學。克萊因的這個觀點後來被稱為《埃爾朗根綱領》。 ^[1] 

給定任意幾何對象的集合M，約定把集合M叫做空間。把M中的每個幾何對象（或稱為元素）變到另一個幾何對象上的過程稱為M上的一個幾何變換，簡稱變換。以α表示某一幾何對象或由許多對象所構成的圖形,以T 表示一個幾何變換,則在T之下把α變到另一個對象或圖形b,記作T(α)=b,b稱為α的像，α稱為b的像源。

另取一個變換S作用到b上,設S(b)=c，若這兩個變換連續作用，則α變到с,所以α變到с的過程也是一個變換,記作P,即P(α)=с。P稱為S和T的乘積,記作P=ST。變換乘積的次序一般是不可交換的，即ST≠TS。

若有三個變換T、S、R，先作用T,其次作用S,最後作用R,其結果是RST,這個記號表示作用的次序是從右邊到左邊。變換乘積的結合律是成立的:(RS)T=R(ST)=RST。

若變換T,使得每個元素b都是惟一的某個元素α的像，則稱T為一對一的變換,這時,T有確定的逆變換,記作T-1，T與T-1的乘積保持每個元素都不動，也就是恆等變換,記作E，即TT-1=T-1T=E。

變換羣 設G為M上的有限或無限個變換的集合,且滿足下面兩個條件:①集合G中任意兩個變換的乘積仍屬於G；②集合G中每個變換必有其逆變換，而且這個逆變換也屬於G，則稱G為M上的一個變換羣。

若從一個已知變換羣G中取出一部分變換,其全體也構成一個變換羣G1，則稱G1為G的一個變換子羣。

由定義易知：平面上或空間中的運動集、仿射變換集、射影變換集等等各構成一個變換羣，分別稱為運動羣、仿射羣、射影羣等等；運動羣是仿射羣的一個子羣，運動羣和仿射羣都是射影羣的子羣。

給定空間M和它的一個變換羣G,若在G中有一個變換，把圖形α變到圖形b,則稱α與b是等價的。從變換羣的定義可推出：

① 若圖形α與圖形b等價，則圖形b也與圖形α等價。事實上，若圖形 α與b等價，則羣G中必有一變換T，使T(α)=b；於是T-1(b)=α，然而T-1屬於G, 這表明，G中有一變換把b變到α，因此，b與α等價。

②若兩個圖形α和b都與第三個圖形с等價，則α與b也互相等價。事實上,若α與с等價，則羣G中必有變換T，使T(α)=с；又若b與с等價，則G中必有變換S,使S(b)=с，從而S-1(с)=b，因此，S-1T(α)=b，所以圖形α與b等價。

克萊因把空間M中圖形的等價性質稱為幾何性質或不變性質,而且把幾何性質與在已知羣G中任意變換下不變的量結合起來，這些不變量顯然是一切等價圖形所共有的。在某一羣 G中一切變換下的所有不變性質稱為從屬於G的性質，研究從屬於G的性質的幾何稱為從屬於G的幾何。

克萊因把各種幾何看作是研究它們所從屬的各種羣的不變性質的理論，使得在19世紀80年代所發現的各種幾何之間顯示出更加深刻的聯繫，他在著名的《埃爾朗根綱領》裏提出了這個羣論觀點。在這裏引出了按照變換羣來進行幾何分類的思想──埃爾朗根綱領思想。例如：經過運動不變的性質就是度量性質，研究度量性質的幾何叫做度量幾何（歐氏幾何）；經過仿射變換不變的性質就是仿射性質，研究仿射性質的幾何叫做仿射幾何；經過射影變換不變的性質就是射影性質，研究射影性質的幾何叫做射影幾何；等等。在運動羣之下，距離、角度、面積、平行性、單比、交比都保持不變；在仿射變換下，距離、角度、面積都改變，但（同方向線段的）單比、平行性、共線性、交比，則保持不變；對射影羣來説，單比、平行性都改變，但共線性、交比保持不變。這是因為運動羣是仿射羣的一個子羣，而仿射羣是射影羣的一個子羣。 ^[2] 

根據以上所述，在某一變換羣之下的不變性質必是它的子羣的性質，但反過來未必成立，就是説，羣越大，則其幾何內容越少；羣越小，則其幾何內容越多。例如，在歐氏幾何中可以討論仿射性質(單比、平行性等)，而在仿射幾何中討論某些度量性質（如距離、角度等）是沒有意義的。

埃爾朗根綱領的提出，正意味着對幾何認識的深化。它把所有幾何化為統一的形式，使人們明確了古典幾何所研究的對象；同時顯示出如何建立抽象空間所對應幾何的方法，對以後幾何的發展起了指導性的作用，故有深遠的歷史意義。 ^[3]