仿射空間

仿射空間是點和向量的集合 ^[2]  ，它的定義是：

（1）設A為一個點集，A中任意兩個有序點P、Q對應於n維矢量空間中的一個矢量a；

（2）設P、Q、R為A中任意三點，P、Q對應於矢量a，Q、R對應於矢量b，則P、R對應於矢量a+b。

具有上面兩個性質的點集A就叫做一個仿射空間。

仿射空間是沒有起點只有方向與大小的向量所構成的線性空間。假設有甲乙兩人，其中甲知道一個空間中真正的原點，但是乙認為另一個點p才是原點。現求兩個向量a和b的和。乙畫出 p到a和 p 到b 的箭頭， 然後用平行四邊形找到他認為的向量 a + b。但是甲認為乙畫出的是向量p+(a − p) + (b − p)。同樣的，甲和乙可以計算向量a和b的線性組合，通常情況下他們會得到不同的結果。

然而，請注意：

如果線性組合係數的和為1，那麼甲和乙將得到同樣的結果！仿射空間就是這樣產生的：甲知道空間的"線性結構"。但是甲和乙都知道空間的"仿射結構"，即他們都知道空間中仿射組合的值，其中仿射組合的定義為係數和為1的線性組合。

具有仿射結構的集合就是一個仿射空間 ^[1]  。

從基本數學概念上來説，一個座標系對應了一個仿射空間 (Affine Space)，當矢量從一個座標系變換到另一個座標系時要進行線性變換 (Linear Transformation)。對點來説， 要進行仿射變換 (Affine Transformation)。這就是我們利用同源座標的理由。它能在對矢量進行線性變換的同時對點進行仿射變換。座標變換的基本操作就是將變換矩陣乘以矢量或點。