子羣

子羣是羣的特殊的非空子集。羣G的非空子集H，若對G的乘法也成為羣，則稱H為G的子羣，記為H≤G。若子羣H≠G，則稱H為G的真子羣，記為HG或簡記為H_{i|i∈I}是G的子羣的集合，I是一個指標集，則所有Hi}的交H_i是G的一個子羣。 ^[1] 

一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

關於羣的子羣的判別問題，有下列命題：

1.設H是羣的非空子集，則H是G的子羣當且僅當H滿足下列兩條件之一：

（1）對任意a,b∈H，a·b∈H 且a^(-1)∈H；

（2）對任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。

任何羣有兩個平凡的子羣：G和e，其中e是G的幺元。 ^[2] 

H是羣G的子羣當且僅當其為非空集且在乘積和逆運算下為封閉的。(封閉條件是指：任兩個在H內的元素a和b，ab和a−1都為在H中。這兩個條件可以結合成一個等價的條件：任兩個在H內的a和b，ab−1也會在H內。)在H是有限的情狀下，則H是一個子羣當且僅當H在乘積下為封閉的。(在此一情形下，每一個H的元素a都會產生一個H的有限循環子羣，且a的逆元素會是a−1 = an − 1，其中n為a的目。)

上述的條件可以用同態來敍述；亦即，H為羣G的子羣當且僅當H為G的子集且存在一個由H映射到G的內含同態(即對每個a，i(a) = a)。

子羣的單位元亦是羣的單位元：若G是個有單位元素eG的羣，且H為具有單位元素eH之G的子羣，則eH = eG。

一個子羣內的一元素之逆元素為羣內的此元素的逆元素：若H是羣G的子羣，且a和b為會使得ab=ba=eH之H內的元素，則ab = ba = eG。

子羣A和B的交集亦為一個子羣。但其聯集亦為一個子羣當且僅當A或B包含着另外一個，像是2和3是在2Z與3Z的聯集中，但其總和5則不是。

若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子羣，其可以由取得所有包括S的子羣之交集來找出；此一最小子羣被標記為且稱為由S產生的子羣。G內的一個元素在內當且僅當其為S內之元素的有限乘積且其逆元。

羣G內的每一個元素a都會產生一個循環子羣。若同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得an = e的正整數，且n被稱為是a的“目”。若同構於Z，則a會被稱有“無限目”。

任一給定的羣之子羣都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子羣格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一羣子羣的最小上界所此些子羣之集合論聯集“所產生”的子羣。)若e為G的單位元素，則其當然羣{e}會是羣G的最小子羣，而其最大子羣則會是羣G本身。 ^[3]