羣

若集合

，在

上的二元運算（該運算稱為羣的乘法，注意它未必是通常意義下數的乘法，其結果稱為積）

構成的代數結構

，滿足：

1. 封閉性：即G的任意兩個元素在

下的運算結果都是該集合的一個元素。（

，

）；

2. 結合律：

，有

；

3.單位元（幺元）：

中存在元素

，使G中任意元素

與之相乘（包括左乘和右乘）的結果都等於

本身。（

，使

，有

）；

4. 逆元：

，

，使得

，

稱為

的逆元，記為

，

則

稱為一個羣，或乘法羣，簡記作

。

在無歧義時，可將 a·b寫成 ab。

有時由於上下文的原因，羣上的二元運算亦可稱為加法（同樣未必是通常意義下數的加法），此時該運算通常記為

，羣元素的運算也被記為如同

的形式，而羣也可被稱為加法羣。

設

是一個羣，則

性質3,4,5,6的證明如下：

（3）根據定義4，

使得

。由於

和

均為

中元素並且

關於乘法封閉，所以

也在

中。令

，則

，因此方程在

中有解

。

同理可證另一個方程在

中有解

。

（4）若

，則兩邊左乘

，根據結合律即可得

，同理可證右消去律。

（5）設

是

的逆元，則

。根據消去律可知

。

（6）由封閉性易證

。由於

，所以

是

的逆元。根據逆元的唯一性可知結論成立。

注意：性質4的消去律雖然是由逆元

的存在性以及單位元e的存在性證明的，但是不能將定義中的3：單位元的存在性和4：逆元的存在性替換為消去律。例如考慮正整數集以及通常意義下的乘法，在乘法下正整數集滿足封閉性、乘法結合律和消去律，但顯然無法構成一個羣，因為除了單位元“1”以外所有元素都不存在逆元。

但是，如果將集合限定為有限集，則只要它滿足封閉性、結合律和消去律，它就是一個羣。

例1

在普通乘法下是羣。 ^[1] 

證：

（1）封閉性：1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1

（2）結合律：成立

（3）單位元：1

（4）逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1

例2

在

的加法下是羣. ^[1] 

證：

（1）封閉性：除以n的餘數只能是

，故封閉性成立

（2）結合律：成立

（3）單位元：0

（4）逆元素：對任意元素a有

，a的逆元

定義

為集合

上所有雙射的集合，並定義合成映射

，這裏

是

的任意元素。

構成一個羣，這個羣被稱為置換羣，記為

或

。

例集合

的三個元素置換羣組成

.

定義

為所有n階實可逆方陣的集合，乘法

為矩陣乘法，則

構成一個羣。

這個羣稱為一般線性羣，記為

。

若一個非空集合G只滿足羣的定義中的（1）和（2），即滿足封閉性和結合律，稱這樣的代數結構

為半羣。

若一個羣

滿足交換律：對

的任意兩個元素

，總有

，則稱羣

為阿貝爾羣，也稱為交換羣。

例如，羣

就是一個阿貝爾羣；羣

和

亦然。

若對於兩個羣

和

，有映射

滿足以下條件：

對G中任意元素a,b，都有

；

則稱映射

為羣

到羣

的同態。

如果映射

為單射，則稱

為單同態。

如果映射

為雙射，則稱

為同構。

易證得，同態有如下性質：

其中

是

的單位元，

是

的單位元。

經典的同態有

是阿貝爾羣

到阿貝爾羣

的同態。

經典的同構有：

(1)

是正實數乘法羣到實數加法羣的同構。

(2)

其中 ，

是

的原根。

映射

是

到

的同構。

一般可以把

中任意一個置換p分解為若干不相交的循環乘積。

P=(

…

)(

…

)….(

…

)

其中

，設k階循環出現的次數為

,用

表示，則

中置換的格式為

...

。

例：(1)(23)(4 5 6 7)的格式是

。