代數結構

代數結構指對於許多數學對象，如羣、環、域、向量空間、有序集等等，用集合與關係的語言給出來的統一的形式.首先，由於數學對象的多樣性，有不同的類型的集，如羣表示的集為G×G.實際上，羣涉及的是二元運算;而向量空間表示的集為F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空間涉及域F中的運算，域F中的元對V中元的運算，V中元的運算.引入基本概念——“合成”(如，羣的合成就是乘法運算;向量空間的“合成”有F中的元對V中元的作用乘法，V中元的加法運算)，並且，要求“合成”適合給定的公理體系，得到的就是一個數學結構。

例如，羣〈G，*〉是個數學結構.由集G，G×G到G的映射* (合成或代數運算)，並且適合

(a*b)*c=a*(b*c) 　a，b，c∈G

∃1∈G，1*a=a*1=a，

a∈G

a∈G，∃a′∈G，a′*a=a* a′=1.

事實上，代數結構中，所有概念均可用集合及關係來定義，即用集合及關係的語言來表述。

做為基本概念，若僅僅着眼於“合成”(即“運算”)，則這種數學結構稱為代數結構，或代數系(統).換言之，代數結構(代數系)就是帶有若干合成(運算)的集合。

代數結構的例子包括組、環、字段和格。更復雜的結構可以通過引入多個操作、不同的底層集合或修改定義公理來定義。更復雜的代數結構的例子包括向量空間、模塊和代數。羣是有一個二元運算的代數結構;環和域都是有兩個二元運算的代數結構;格是有兩個二元運算的代數結構;布爾代數、集合代數、命題代數都是帶兩個二元運算和一個一元運算的代數結構.它們都(分別)適合特定的公理體系。

在抽象代數中研究了特定代數結構的性質。代數結構的一般理論已在通用代數中形式化。範疇理論的語言是用來表達和研究不同類別的代數和非代數對象之間的關係的。這是因為有時可能在某些類的對象之間找到強的連接，有時是不同的類的對象中。例如，Galois理論建立了某些域和羣之間的聯繫：兩種不同類型的代數結構。

數字上的加法和乘法是一種運算的典型例子，它將集合的兩個元素結合起來產生第三個元素。這些操作服從幾個代數定律。例如，a+(b+c)=(a+b)+c和a(bc)=(ab)c，這兩個例子都是關聯律。還有a+b=b+a，ab=ba，交換律。許多由數學家研究的系統都有服從一些但不一定都是的普通算術法則的運算。例如，可以通過執行第一輪旋轉來組合三維空間中的對象的旋轉，然後將第二旋轉應用於其新方向上的對象。這種旋轉操作服從關聯律，但可使交換律失效。

數學家們給出了一個具有一個或多個服從特定法律集合的操作的集合的名稱，並將它們抽象地研究為代數結構。當一個新問題可以被證明遵循這些代數結構之一的規律時，過去在這類問題上所做的一切工作都可以應用於新的問題。

在完全通用的情況下，代數結構可能涉及任意數量的集合和操作，它們可以組合兩個以上的元素(更高的arity)，但是本文着重於一到兩組的二進制操作。這裏的示例決不是一個完整的列表，但是它們是一個有代表性的列表，並且包含最常見的結構。更長的代數結構列表可以在外部鏈接和類中找到：代數結構。結構按複雜程度的近似順序列出。

代數結構還可以與附加的非代數性質的結構共存，如偏序或拓撲。在某種意義上，附加的結構必須與代數結構兼容。 ^[2] 

拓撲組：與羣操作相一致的拓撲羣。

李羣：一個具有相容光滑流形結構的拓撲羣。

有序羣，有序環和有序域：局部有序的每一類結構。

阿基米德羣：擁有阿基米德性質的線性有序羣。

拓撲向量空間：其M具有相容拓撲的向量空間。

賦範向量空間：一個具有相容範數的向量空間。如果這樣的空間是完備的(作為一個度量空間來説)，那麼它就被稱為一個Banach空間。

希爾伯特空間：在實值或複數上的內積空間，其內積產生了一個Banach空間結構。

馮·諾依曼代數：一個具有弱算子拓撲的希爾伯特空間上算子的代數。

代數結構是通過不同的公理構型來定義的。通用代數抽象地研究了這些對象。一種主要的二分法即分為：完全由自身定義的結構和不能完全由自身定義的結構。如果定義一類代數的所有公理都是恆等式，那麼該對象的類具有一種多樣性(代數幾何意義上的代數多樣性)。 ^[3] 

羣中有一個包含兩個運算符的符號：乘法運算符m，帶兩個參數，逆運算符i，帶一個參數，以及標識元素常量e（它可以被認為是一個零參數的運算符）。給定一個變量x、y、z等(數字)集，代數是所有可能的m，i，e和變量的集合，例如m(i(X)，m(x，m(y，e)是代數 ，定義一個羣的公理之一是m(x，i(X)=e；另一個公理是m(x，e)=x。公理可以表示為樹。這些方程在自由代數上推導出等價類，商代數則具有羣的代數結構。

範疇理論是研究代數結構的另一種工具(例如，2003年的macLane)。範疇是具有關聯態射的對象的集合。每一個代數結構都有自己的同態概念，即任何與定義結構的運算相容的函數。因此，每一個代數結構都會產生一個類別。例如，羣的範疇是將所有組都作為對象，並且所有組同態都作為態射。這一具體範疇可以看作是一組具有附加範疇理論結構的集合範疇。同樣，拓撲羣的範疇(其態射是連續羣同態)是一類具有額外結構的拓撲空間的範疇。 ^[4] 

範疇理論相關概念如下：

代數範疇

本質代數範疇

呈現範疇

局部呈現範疇

一元函子和類別