拓撲不變量

拓撲空間的同胚映射下保持不變的性質稱為拓撲不變量。

例如，二維緊緻定向曲面又二維定向曲面的拓撲不變量虧格、辯解連通分支數唯一決定。拓撲學研究的一箇中心問題是拓撲空間的同胚分類。但是直接判斷兩個拓撲空間之間是否存在同胚映射是很困難的一件事情。因此拓撲學家希望能夠找到比較好計算的在同胚映射下保持不變的性質來判斷兩個拓撲空間不是同胚的。因此，拓撲空間的同胚映射存在問題被轉移到拓撲不變量的構造。由此，產生了許多的拓撲不變量如同倫羣、同調羣。 ^[1] 

拓撲不變量，在拓撲學之中，並不拘泥於一個拓撲空間所包含的體積、面積、長度等等量，而是在乎這個拓撲空間所擁有的內稟性質，如虧格(虧數)。而所謂的內稟性質是指那些與度量無關的各種量，也就是説，這些量是不能使用因次分析來表達出的。而拓撲學的也因為這種不在乎那些跟大小、位置、形狀的性質而被稱做一門“定性”的科學。

舉個例子，一個拓撲空間的連通性，假如一個拓撲空間不能被描述成兩個非空不相交開集的聯集，我們就叫這個拓撲空間為連通空間，而我們現在將這個連通空間隨意伸縮、平移或甚至變形，這個拓撲空間是連通空間的性質是不會變的，我們就稱拓撲空間的連通性是一個拓撲不變量。

假設我們現在有一顆球，但我們不能限制這顆球中的任何一點不能畫一條連續的線到同在這顆球中的任何另外一點，那麼，我們稱做這個球有連通性。而現在，我們將這顆球拉長、亂丟、甚至把他在拉長之後打成一個結，但只要我們不做會讓這顆球破洞或被壓爆的動作，而依然地，我們不能限制這顆變形球裏頭的任何一點不能畫一條連續的線到同在這顆球中的任何一點，那麼，我們就稱這個連通性是一種拓撲不變量。

學術點説這些拉長打結之類的動作：一個操作，而這個操作使得這個拓撲空間和被操作過後的拓撲空間是同構的。當然，這裏就先不提局部連通性的概念。

著名的咖啡杯和甜甜圈對拓撲學數學家是一樣的，就是上文提過的虧數概念，像將咖啡杯扭曲成一個甜甜圈就是一個典型的拓撲學上的變形，而這個虧數，不嚴謹的説，也就是它有幾個洞，就是一個典型的拓撲不變量。

經典的拓撲不變量還有著名的歐拉示性數等等。