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除子
鎖定
- 中文名
- 除子
- 外文名
- divisor
- 領 域
- 數理科學
- 所屬學科
- 代數幾何
除子定義
一般地,對於代數閉域上的非奇代數簇,它可以定義為餘維數為一的子簇的(整係數)形式和,也可以定義為層
的一個整體截面。在滿足一定條件的(可以是奇異的)代數簇上,這兩種定義分別推廣成Weil除子和Cartier除子。
除子黎曼曲面上的除子
給定
上任何一個除子
,局部上
都可以被寫作一個函數對應的主除子。精確地説,一定存在
的一組開覆蓋
以及每個
上的函數
,使得
。一般説來,在
和
的交集上,
和
的限制未必相等,但易見在
上,存在一個處處非零的全純函數
,使得
。另外,
的選取不是唯一的,因為我們總可以用一個處處非零的全純函數
來修正它。反過來,任意一組這樣的數據
,都給出了
上的一個除子
[1]
。
從Cartier的觀點出發,不難構造除子
所對應的可逆層
:取
的一組開覆蓋
,以及每個
上的函數
,使得
。取
上的平凡層
,在交集
上,如前所述
是
上的一個可逆函數,從而它定義了
上平凡層的一個自同構。把這一同構視作粘合映射
,不難驗證這一族粘合映射滿足cocycle條件,從而他們給出了
上的一個可逆層。
任意一個除子
,我們可以定義
的次數
。根據定義,這一定是一個有限和。對於緊黎曼面,主除子的次數總為零。由此可見,除子的次數只依賴於它在Picard羣中的像。