-
張量積
鎖定
張量積多種張量積
有兩個(或更多)張量積的分量的一般公式。例如,如果U和V是秩分別為n和m的兩個協變張量,則它們的張量積的分量給出為:
所以兩個張量的張量積的分量是每個張量的分量的普通積。
注意在張量積中,因子U消耗第一個 rank(U) 指標,而因子V消耗下一個 rank(V) 指標,所以
例子:
設U是類型 (1,1) 的張量,帶有分量Uβ;並設V是類型 (1,0) 的張量,帶有分量V。則
而
。
張量積繼承它的因子的所有指標。
(2)多重線性映射的張量積
(3)向量空間的張量積
要構造
,採用在 K之上帶有基
的向量空間,並應用(因子化所生成的子空間)下列多線性關係:
(1)
(2)
(3)
這裏的
是來自適當空間的向量,而c來自底層域K。
我們可以推出恆等式
,零在
中。
結果的張量積
自身是向量空間,它可以直接通過向量空間公理來驗證。分別給定V和W基
和
,形如
的張量形成
的基。張量積的維數因此是最初空間維數的積;例如
有維數mn。
(4)希爾伯特空間的張量積
兩個希爾伯特空間的張量積是另一個希爾伯特空間,其定義如下。
定義
考慮他們的作為線性空間的張量積
。
和
上的內積自然地擴展到H上:
由內積的雙線性(Bilinearity),只需定義
其中
和
即可。
性質
如果H1和H2分別有正交基{φk} 和 {ψl},則 {φk⊗ψl} 是H1⊗H2的正交基。
(5)兩個向量空間的張量積
在向量空間範疇,對象之間的同態都是線性映射。但其實我們經常會碰到 “雙線性映射” 這種概念,比如內積就是一個雙線性映射 V x V --> C. 我們希望把 “雙線性” 這種性質歸於向量空間範疇。一個辦法就是,構造一個跟 V, W 有關的向量空間 Z,使得所有定義在 V x W 上的 “雙線性映射” 都可以由 “唯一” 一個定義在 Z 上的 “線性映射” 來代替。這個 Z 就叫 V 和 W 的張量積。
張量積泛性質
張量積可以用泛性質來刻畫。考慮通過雙線性映射φ把笛卡爾積V×W嵌入到向量空間X的問題。張量積構造V⊗W與給出自
假定這個泛性質,張量積在同構意義下的惟一性是容易驗證的。
直接推論是從V×W到X的雙線性映射
和線性映射
的同一性。它是ψ到T的自然同構映射。
張量積擴展
張量積應用發展
後來的發展表明,“張量積” 可以擴展到一般範疇。凡是在範疇中多個對象得到一個對象,並滿足一定結合規則和交換規則的操作都可以視為 “張量積”,比如集合的笛卡兒積,無交併,拓撲空間的乘積,等等,都可以被稱為張量積。帶有張量積操作的範疇叫做 “張量範疇”。張量範疇被視為量子不變量理論的形式化,從而應該同量子場論,弦論都有深刻的聯繫。
張量積示例
結果的秩為1,結果的維數為 4×3 = 12。
代表情況是任何兩個被當作矩陣的矩形數組的克羅內克積。在同維數的兩個向量之間的張量積的特殊情況是並矢積。