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範疇
（數學概念）
鎖定
範疇定義
（ii）（單位律） 對任意的
，有
，且對任意的
，有
。
範疇性質
範疇相關概念
小范疇為對象類是一個集合的範疇。一個範疇
被稱為基本小（essentially small），如果它的對象的同構類是一個集合。顯然小范疇總是基本小的。
離散範疇為態射為單位態射的範疇。
幺半羣為只有一個對象的範疇。
羣為每個態射在複合下都是可逆的幺半羣。
任一幺半羣都會形成一個具單一個對象
的小范疇（此處的x是任一個固定的集合）。從
至
的態射恰好是幺半羣的元素，且其態射覆合由幺半羣的運算所給定。幺半羣令態射絕不可能為函數，唯一從單元素集合x至x的函數為當然函數。可視範疇為廣義化了的幺半羣；一些和幺半羣有關的定義和定理也可能可以義廣化成範疇的定義和定理。
若I是一個集合，“在
上的具體範疇”會是個小范疇，其對象為的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射覆合的公理是必然滿足的。
範疇例子
每一範疇都可由其對象、態射和態射覆合來表示。
集範疇Set，對象為所有小集，其態射為集合間的映射，而態射覆合則為一般的映射覆合。
（下列皆為具體範疇的例子，即在集合上加入一些結構，且要求態射為對應於此附加結構的函數，態射覆合則為簡單的一般函數複合。）
Set*，對象為帶基點的集合，態射為保基點的映射。
MatrK，對象為所有正整數，態射為矩陣元取值於K的矩陣。
原羣範疇，對象為所有原羣，態射為原羣同態。
Mon，對象為所有小幺半羣，態射為幺半羣同態。
羣範疇Grp，對象為所有小羣，態射為羣同態；
CRng，對象為所有小交換環，態射為環同態。
右R模範疇Mod-R，對象為環R上的小右模，態射為線性映射。
K-Mod，對象為交換環K上的小模，態射為線性映射。
Toph，對象為所有拓撲空間，態射為連續映射的同倫類。
Top*，對象為所有帶基點的空間，態射為帶基點映射；
度量空間範疇，對象為所有度量空間，態射為度量映射；
一致空間範疇，對象為所有一致空間，態射為一致連續函數；
Ab-cat，對象為所有小預加性範疇，態射為加性函子。
Cob(D+1)，對象為D維閉流形，態射為D+1維配邊。
[4]
所有集合的範疇，態射為關係。
範疇範疇類型
1.若範疇的態射集合Hom(a,b)是加性交換羣，並且態射的複合與這些阿貝爾羣之間的羣結構兼容，即複合映射是雙線性的。這種範疇稱為預加性範疇，或Ab-範疇。阿貝爾羣範疇Ab，左R模範疇R-Mod，右R模範疇Mod-R都是預加性範疇。
[3]
2.範疇是完備的當其保持所有極限。集合、交換羣、拓撲空間的範疇都是完備的。
4.拓撲斯是一種特定的笛卡爾閉範疇；所有數學內容都可以用拓撲斯的語言形式化（正如所有經典數學都可以用集合範疇的語言形式化一般）。拓撲斯也可用於表示邏輯理論
[2]
。
