-
矩陣的秩
鎖定
在線性代數中,一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。類似地,行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。即如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量,秩就是這些行向量或者列向量的秩,也就是極大無關組中所含向量的個數。
- 中文名
- 矩陣的秩
- 外文名
- The Rank of Matrix
- 領 域
- 線性代數
- 性 質
- 行秩是A的線性無關極大數目
- 公 式
- A=(aij)m×n
矩陣的秩相關定義
方陣(行數、列數相等的矩陣)的列秩和行秩總是相等的,因此它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A),rk(A)或
。
m × n矩陣的秩最大為m和n中的較小者,表示為 min(m,n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩;類似的,否則矩陣是秩不足(或稱為“欠秩”)的。
定義1. 在m*n矩陣A中,任意決定α行和β列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣,此子矩陣的行列式,稱為A的一個k階子式。
定義2. A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A的秩,記作rA,或rankA或R(A)。
特別規定零矩陣的秩為零。
顯然rA≤min(m,n) 易得:
若A中至少有一個r階子式不等於零,且在r<min(m,n)時,A中所有的r+1階子式全為零,則A的秩為r。
矩陣的秩
定理:矩陣的行秩,列秩,秩都相等。
定理:初等變換不改變矩陣的秩。
定理:如果A可逆,則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
定理:矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};
引理:設矩陣A=(aij)sxn的列秩等於A的列數n,則A的列秩,秩都等於n。
當r(A)<=n-2時,最高階非零子式的階數<=n-2,任何n-1階子式均為零,而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號,所以伴隨陣為0矩陣。
矩陣的秩變化規律
(1)轉置後秩不變
(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩陣
(3)r(kA)=r(A),k不等於0
(4)r(A)=0 <=> A=0
(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)
(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))
(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)
證明:
AB與n階單位矩陣En構造分塊矩陣
|AB O|
|O En|
A分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有
|AB A|
|0 En|
右邊兩塊矩陣分乘-B加到左邊兩塊矩陣,有
|0 A |
|-B En|
所以,r(AB)+n=r(第一個矩陣)=r(最後一個矩陣)>=r(A)+r(B)
即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
注:這裏的n指的是A的列數。這裏假定A是m×n矩陣。
特別的:A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n
(9)若矩陣可相似對角化則矩陣的秩等於矩陣非零特徵值的個數。