轉置

在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合 ^[1]  ，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。

矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效算法，這是一個幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。 針對特定矩陣結構（如稀疏矩陣和近角矩陣）定製的算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。 無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。 無限矩陣的一個簡單例子是代表一個函數的泰勒級數的導數算子的矩陣。

直觀來看，將A的所有元素繞着一條從第1行第1列元素出發的右下方45度的射線作鏡面反轉，即得到A的轉置。一個矩陣M, 把它的第一行變成第一列，第二行變成第二列，......,最末一行變為最末一列， 從而得到一個新的矩陣N。 這一過程稱為矩陣的轉置。通常記為

或

。

設A為m×n階矩陣（即m行n列），第i行j列的元素是

，即：

定義A的轉置為這樣一個n×m階矩陣B，滿足

（B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素）。記

。

^[5] 

^[2] 

如果AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉置矩陣”）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣。

正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是正規矩陣。儘管我們在這裏只考慮實數矩陣，這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，對於複數的矩陣這導致了歸一要求。

正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但是存在一種復正交矩陣，復正交矩陣不是酉矩陣。

正交矩陣的一個重要性質就是它的轉置矩陣就是它的逆矩陣。 ^[3] 

1，一階矩陣的轉置不變

例1，設A為n階方陣,X=(x1,… ,xn)′，二次型f= X′AX的矩陣為何?

解　因為未假設A對稱，所以f= X′AX雖然是n元二次型，但不能肯定其矩陣是A。只有A對稱時，二次型f= X′AX的矩陣才是A。

由於一階矩陣的轉置不變,所以(X′AX)′=X′AX,即就是：X′A′X= X′AX。

由此可得:f= X′AX= X′*1/2*(A+ A′)*X。

注意到1/2(A+ A′)是對稱矩陣,所以二次型f= X′AX的矩陣為1/2(A+ A′)。

2，在正交矩陣裏，

例2，設

是n階正交矩陣,證明

(i,j= 1,2,… n).其中Aij為aij的代數餘子式。

證明

∵ A是正交矩陣,∴| A| =± 1，且

於是

當A = 1時，

(i,j= 1,2,… n)

當A =- 1時，

(i,j= 1,2,… n)

故

(i,j= 1,2,… n) ^[4]