代數餘子式

在n階行列式D中劃去任意選定的k行、k列後，餘下的元素按原來順序組成的n-k階行列式M，稱為行列式D的k階子式A的餘子式。如果k階子式A在行列式D中的行和列的標號分別為i_1，i₂，…，i_k和j_1，j_2，…，j_k。則在A的餘子式M前面添加符號：

後,所得到的n-k階行列式，稱為行列式D的k階子式A的代數餘子式。 ^[2] 

例1 在五階行列式 ^[1] 

中，劃定第二行、四行和第二列、三列，就可以確定D的一個二階子行列式

A的相應的餘子式M為：

子行列式A的相應的代數餘子式為：

例2 一個元素

的代數餘子式與該元素本身沒什麼關係，只與該元素所在的位置有關。例如在行列式 ^[3] 

中，將該行列式中1行1列元素a換成b，其代數餘子式都是

求元素

的代數餘子式

時，要特別注意餘子式

前面的符號

。 ^[3] 

帶有代數符號的餘子式稱為代數餘子式，計算元素的代數餘子式時，首先要注意不要漏掉代數餘子式所帶的代數符號 ^[4]  。

計算某一行(或列)的元素代數餘子式的線性組合的值時，儘管直接求出每個代數餘子式的值，再求和也是可行的，但一般不用此法，其原因是計算量太大，注意到行列式D中元素

的代數餘子式

與

的值無關，僅與其所在位置有關，利用這一點，可將D的某一行(或列)元素的代數餘子式的線性組合表示為一個行列式，而構造這一行列式是不難的，只需將其線性組合的係數替代D的該行(或該列)元素，所得的行列式

就是所要構造的行列式，再應用下述行列式的展開定理，即命題1和命題2，就可求得

的值。

命題 1 n階行列式

等於它的任一行(列)的所有元素與其對應的代數餘子式的乘積之和：

命題2 n階行列式

的任一行(列)的元素與另一行(列)對應元素的代數餘子式乘積之和等於零：

例3 已知2n階行列式D的某一列元素及其餘子式都等於a，求D。

解 按該列展開：

注意到該列元素的代數餘子式中有n個為a,n個為-a，從而行列式的值為0。