n階行列式

按照一定的規則，由排成正方形的一組(n個)數(稱為元素)之乘積形成的代數和，稱為n階行列式。

例如，四個數a、b、c、d所排成二階行式記為

，它的展開式為ad-bc。

九個數a₁，a₂，a₃;b₁，b₂，b₃;c₁，c₂，c₃排成的三階行列式記為

，它的展開式為a₁b₂c₃+a₂b₃c₁+a₃b₁c₂-a₁b₃c₂-a₂b₁c₃-a₃b₂c₁. 行列式起源於線性方程組的求解，在數學各分支有廣泛的應用。在代數上，行列式可用來簡化某些表達式，例如表示含較少未知數的線性方程組的解等。

在1683年，日本的關孝和最早提出了行列式的概念及它的展開法。萊布尼茲在1693年(生前未發表)的一封信中，也宣佈了他關於行列式的發現。 ^[2] 

定義1 n階行列式

等於所有取自不同行不同列的n個元素的乘積

的代數和，這裏

是1,2，...，n的一個排列，每一項都按下列規則帶有符號：當

是偶排列時帶有正號，當

是奇排列時帶有負號。這一定義可寫成

這裏

表示對所有n級排列求和，

表示排列

的逆序數。

由定義1立即看出，n階行列式是由n! 項組成的。 ^[1] 

性質1 行列互換，行列式不變。

性質2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一個數K，等於用數K乘以行列式。

性質3 如果行列式的某行（列）的各元素是兩個元素之和，那麼這個行列式等於兩個行列式的和。

性質4 如果行列式中有兩行（列）相同，那麼行列式為零。（所謂兩行（列）相同就是説兩行（列）的對應元素都相等）

性質5 如果行列式中兩行（列）成比例，那麼行列式為零。

性質6 把一行（列）的倍數加到另一行（列），行列式不變。

性質7 對換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號。 ^[1] 

首先給出代數餘子式的定義。

定義2 ^[1]  在行列式

中劃去元素a_ij所在的第i行第j列，剩下的(n-1)²個元素按原來的排法構成一個n-1階的行列式M_ij，稱M_ij為元素a_ij的餘子式，A_ij=(-1)^i+j M_ij稱為元素的代數餘子式。

定理 ^[1]  設

A_ij表示元素a_ij的代數餘子式，則下列公式成立：

行列式

稱為n級的範德蒙德（Vandermonde）行列式。可以證明：對任意的 n（n≥2），n階範德蒙德行列式等於a₁，a₂，...，a_n這n個數的所有可能的差a_i-a_j（1≤j<i≤n）的乘積。 ^[1]