泰勒級數

在數學中，泰勒級數（英語：Taylor series）用無限項連加式——級數來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字來命名的。通過函數在自變量零點的導數求得的泰勒級數又叫做邁克勞林級數，以蘇格蘭數學家科林·麥克勞林的名字命名。 泰勒級數在近似計算中有重要作用。

定義：如果

在點x=x₀具有任意階導數，則冪級數

稱為

在點x₀處的泰勒級數。 ^[1] 

在泰勒公式中，取x₀=0，得到的級數 ^[2] 

稱為麥克勞林級數。函數

的麥克勞林級數是x的冪級數，那麼這種展開是唯一的，且必然與

的麥克勞林級數一致。 ^[3] 

注意：如果

的麥克勞林級數在點的某一鄰域內收斂，它不一定收斂於f（x）。因此，如果f（x）在某處有各階導數，則f（x）的麥克勞林級數雖然能算出來，但這個級數能否在某個區域內收斂，以及是否收斂於f（x）還需要進一步驗證。

一些函數無法被展開為泰勒級數，因為那裏存在一些奇點。但是如果變量x是負指數冪的話，仍然可以將其展開為一個級數。例如

，就可以被展開為一個洛朗級數。

設函數

在

的某個鄰域

內具有任意階導數，則函數

在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要條件使得泰勒公式中的餘項

滿足 ^[4] 

如果

在區間

能展開成泰勒級數

則右端的冪級數是唯一的。 ^[4] 

泰勒級數的重要性體現在以下三個方面：

對於一些無窮可微函數f(x) 雖然它們的展開式收斂，但是並不等於f(x)。例如，分段函數

，當 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，則當x = 0所有的導數都為零，所以這個f(x)的泰勒級數為零，且其收斂半徑為無窮大，雖然這個函數 f 僅在 x = 0 處為零。而這個問題在複變函數內並不成立，因為當 z 沿虛軸趨於零時

並不趨於零。

一些函數無法被展開為泰勒級數是因為那裏存在一些奇點。但是如果變量x是負指數冪的話，我們仍然可以將其展開為一個級數。例如，

就可以被展開為一個洛朗級數。

基本原理：多項式的k重不可約因式是其微商的k-1重不可約因式；

基本思想：通過係數為微商的多項式來研究任意函數的性質（本科主

要是收斂性)

希臘哲學家芝諾 （Zeno of Elea）在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題，得出不可能的結論 -芝諾悖論。後來，亞里士多德相對於芝諾悖論提出了一個哲學的決議，但顯然此部分數學內容沒有得到解決直到被德謨克利特接手以及後來的阿基米德。 正是用了阿基米德的窮舉法才使得一個無窮級數被逐步的細分，實現了有限的結果。

進入14世紀，Mādhava of Sañgamāgrama最早使用了泰勒級數以及相關的方法。雖然沒有保留他的工作記錄，但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數，這些級數包括正弦，餘弦，正切，和反正切三角函數等等。之後，喀拉拉邦的天文與數學學校在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近，一直持續到16世紀。

到了17世紀，詹姆斯·格雷戈 （James Gregory）同樣繼續着這方面的研究並且發表了若干麥克勞林級數。1715年，布魯克·泰勒 （Brook Taylor） 提出了一個常用的方法來構建這一系列級數並適用於所有函數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。 麥克勞林級數是以愛丁堡大學教授麥克勞林來命名的。他在18世紀發表了泰勒級數的特例。

下面給出幾個常見函數在x=0處的泰勒級數，即麥克勞林級數。 ^[2] 

參考主詞條：指數函數

以𝑒為底數的指數函數的麥克勞林序列是：

參考主詞條：自然對數

以𝑒為底數的自然對數的麥克勞林序列是：

參考主詞條：幾何級數

常用的三角函數可以被展開為以下的麥克勞林序列：

在tan⁡(𝑥)展開式中的B_k是伯努利數。在sec⁡(𝑥)展開式中的E_k是歐拉數。 ^[3]