冪級數

設

是定義在某區間I上的函數列，則表達式

(1)

稱為定義在區間I上函數項級數。

如果式（1）上的各項

都是定義在區間

上的冪函數，函數項級數

(2)

稱作冪級數，其中

為常數，

稱為冪級數的係數。

特別的，當

=0時，冪級數式（2）變為

(3)

對於定義在區間I上的函數項級數

,取定

,就變成數項級數

(4)

數項級數式（4）可能收斂，也可能發散。如果數項級數式（4）是收斂的，稱

為函數項級數（1）的收斂點；如果數項級數式（4）是發散的，稱

為函數項級數（1）的發散點。函數項級數式（1）的所有收斂點的集合稱為其收斂域，所有發散點的集合稱為其發散域。

對於收斂域上的每一個數x，函數項級數（1）都是一個收斂的常數項級數，因而有一確定的和。因此，在收斂域上函數項級數的和是x的函數，稱為函數項級數的和函數，記作s（x），通常寫成

或

。

如果

,則冪級數

的收斂半徑R：

四則運算

（1）冪級數的加法

在

和

中的較小區間內上式成立，收斂半徑

。

（2）冪級數的減法

在

和

中的較小區間內上式成立，收斂半徑

。

（3）冪級數的乘法

在

和

中的較小區間內上式成立，收斂半徑

。

(4)冪級數的除法

兩個冪級數相除的結果仍是冪級數。假設

時，

係數

由下列等式逐一確立：

相除所得的冪級數

的收斂域可能比

和

小得多。

冪級數的和函數的性質

性質一：冪級數

的和函數s（x）在其收斂域I上連續。

性質二：冪級數

的和函數s（x）在其收斂域I上可積，並有逐項積分公式

逐項積分後所得的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。

推論：冪級數

的和函數s（x）在其收斂域內可逐項積分任意次。

性質三：冪級數

的和函數s（x）在其收斂區間

內可導，並有逐項求導公式

逐項求導後所得的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。

推論：冪級數

的和函數s（x）在其收斂區間

內有任意階導數。 ^[1]