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冪函數
鎖定
冪函數(power function)是基本初等函數之一。
冪函數定義域和值域及其奇偶性
冪函數的一般形式是
,其中,a可為任何常數,但中學階段僅研究a為有理數的情形(a為有理數時:a>0,定義域為[0,+∞);a<0,定義域為(0,+∞) )
[1]
,這時可表示為
,其中m,n,k∈N*,且m,n互質。特別,當n=1時為整數指數冪。
(2)當m,n都為奇數,k為奇數時,如
,
,
等,定義域、值域均為{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),為奇函數;
(4)當m為奇數,n為偶數,k為奇數時,如
,
等,定義域、值域均為(0,+∞),為非奇非偶函數;
冪函數性質
冪函數正值性質
當α>0時,冪函數y=xα有下列性質:
a、圖像都經過點(1,1)(0,0);
b、函數的圖像在區間[0,+∞)上是增函數;
冪函數負值性質
當α<0時,冪函數y=xα有下列性質:
a、圖像都通過點(1,1);
冪函數零值性質
當α=0時,冪函數y=xa有下列性質:
a、y=x0的圖像是直線y=1去掉一點(0,1)。它的圖像不是直線。
冪函數討論分析
(2)單調區間:
當α為整數時,α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性:
①當α為正奇數時,圖像在定義域為R內單調遞增;
②當α為正偶數時,圖像在定義域為第二象限內單調遞減,在第一象限內單調遞增;
④當α為負偶數時,圖像在第二象限上單調遞增,在第一象限內單調遞減。
當α為分數時(且分子為1),α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性:
①當α>0,分母為偶數時,函數在第一象限內單調遞增;
②當α>0,分母為奇數時,函數在第一三象限各象限內單調遞增;
③當α<0,分母為偶數時,函數在第一象限內單調遞減;
④當α<0,分母為奇數時,函數在第一三象限各象限內單調遞減(但不能説在定義域R內單調遞減);
(3)當α>1時,冪函數圖形下凹(豎拋);
當0<α<1時,冪函數圖形上凸(橫拋)。
(4)在(0,1)上,冪函數中α越大,函數圖像越靠近x軸;在(1,﹢∞)上冪函數中α越大,函數圖像越遠離x軸。
(5)當α<0時,α越小,圖形傾斜程度越大。
冪函數特性
對於α的取值為非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
當指數α是負整數時,設α=-k,則
,顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數,那麼我們就可以知道:
α小於0時,x不等於0;
α的分母為偶數時,x不小於0;
α的分母為奇數時,x取R。
- 參考資料
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- 1. 《數學辭海》編輯委員會編.數學辭海第一卷[M].北京:中國科學技術出版社,2002:511.
- 2. 中職“冪函數”教學設計分析 .中國知網
- 3. 初高中函數概念教學之我見 .中國知網[引用日期2017-04-25]
- 4. 中公教育教師招聘考試研究院編.學科專業知識 小學數學 2012最新版[M].世界圖書北京出版公司.2012.02:92