奇數

在整數中，不能被2整除的數叫做奇數 ^[1]  。日常生活中，人們通常把正奇數叫做單數，它跟偶數是相對的 ^[2]  。奇數可以分為正奇數和負奇數。奇數的數學表達形式為：

正奇數：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33.........

負奇數：-1、-3、-5、-7、-9、-11、-13、-15、-17、-19、-21、-23.-25、-27、-29、-31、-33.........

關於奇數和偶數，有下面的性質：

（1）兩個連續整數中必有一個奇數和一個偶數；

（2）奇數+奇數=偶數；偶數+奇數=奇數；偶數+偶數+...+偶數=偶數；

（3）奇數-奇數=偶數；偶數-奇數=奇數；奇數-偶數=奇數；

（4）若a、b為整數，則a+b與a-b有相同的奇偶性，即a+b與a-b同為奇數或同為偶數；

（5）n個奇數的乘積是奇數，n個偶數的乘積是偶數；算式中有一個是偶數，則乘積是偶數；

（6）奇數的個位是1、3、5、7、9；偶數的個位是0、2、4、6、8；

（7）奇數的平方除以2、4、8餘1；

（8）任意兩個奇數的平方差是2、4、8的倍數；

（9）奇數除以2餘數為1。

著名數學家畢達哥拉斯發現有趣奇數現象：將奇數連續相加，每次的得數正好是平方數。這體現在奇數和平方數之間有着密切的重要聯繫。如：

性質：任意一個奇數都可以寫成兩個整數平方差的形式。

①如1=1²-0²，3=2²-1²，5=3²-2²...

令正奇數a為第n個正奇數(即n≥1)，則有a=n²-(n-1)²=2n-1;a=(a+1-n)²-(a-n)²=2a-2n+1。

②如-1=0²-1²，-3=1²-2²，-5=2²-3²...

令負奇數b為第n個負奇數(n≥1)，由①改變符號,易得b=-a=(n-1)²-n²=1-2n;

但第二個規律與正奇數的不同。

奇數與素數是兩個不同的概念，奇數可能是素數，也可能不是素數。例如3是奇數，是素數；9是奇數，但不是素數。

三素數定理 ：每一個奇數

都能表示成為三個素數的和。 ^[3] 

數列：1，3，5，7，9，…… ，2n-1，... 稱為奇數列，通項公式為

。它有一個優美的性質：n取任何正整數時，它的前n項和均是一個完全平方數，即

。

奇數列也可從另一角度進行表述：若

，

，當

時，都有

，則數列

為奇數列。 ^[4]