基本初等函數

高等數學將基本初等函數歸為五類：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數 ^[1]  。

數學分析將基本初等函數歸為六類：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數、常數函數 ^[2]  。

下面一一介紹這些函數。

一般地，形如y=x^α（有理數）的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱為冪函數。例如函數y=x⁰ 、y=x¹、y=x²、y=x^-1（注：y=x^-1=1/x y=x⁰時x≠0）等都是冪函數。一般形式如下 ^[1]  ：

（ α為常數，且可以是自然數、有理數，也可以是任意實數或複數。）

冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至於是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多隻能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與座標軸相交，則交點一定是原點。

當α>0時，冪函數y=x^α有下列性質：

a、圖像都經過點（1,1）(0,0）；

b、函數的圖像在區間[0,+∞)上是增函數；

c、在第一象限內，α>1時，導數值逐漸增大；α=1時，導數為常數；0<α<1時，導數值逐漸減小；

當α<0時，冪函數y=x^α有下列性質：

a、圖像都通過點（1,1）；

b、圖像在區間（0，+∞）上是減函數；（內容補充：若為X^-2，易得到其為偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間（-∞，0）上單調遞增。其餘偶函數亦是如此）

c、在第一象限內，有兩條漸近線（即座標軸），自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。

當α=0時，冪函數y=x^a有下列性質：

y=x⁰的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線 ^[1]  。

指數函數是數學中重要的函數。應用到值e上的這個函數寫為exp(x)。還可以等價的寫為e^x，這裏的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還稱為歐拉數。一般形式如下 ^[1]  ：

（a>0, a≠1）

當a>1時，指數函數對於x的負數值非常平坦，對於x的正數值迅速攀升，在 x等於0的時候，y等於1。當0<a<1時，指數函數對於x的負數值迅速攀升，對於x的正數值非常平坦，在x等於0的時候，y等於1。在x處的切線的斜率等於此處y的值乘上lna。即由導數知識得：

作為實數變量x的函數，

的圖像總是正的(在x軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及x軸，儘管它可以無限程度地靠近x軸(所以，x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數是自然對數ln(x)，它定義在所有正數x上。

有時，尤其是在科學中，術語指數函數更一般性的用於形如

（k屬於R） 的函數，這裏的 a 叫做“底數”，是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數e 的指數函數。

指數函數的一般形式為

(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們關於冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得a>0且a≠1。

如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。

在函數中可以看到

：

（1） 指數函數的定義域為R，這裏的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等於0函數無意義一般也不考慮。

（2） 指數函數的值域為

。

（3） 函數圖形都是上凹的。

（4） a>1時，則指數函數單調遞增；若0<a<1，則為單調遞減的。

（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中（不等於0）函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

（6） 函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,並且永不相交。

（7） 函數總是通過（0，1）這點,(若

,則函數定過點(0,1+b))

（8） 指數函數無界。

（9）指數函數是非奇非偶函數

（10）指數函數具有反函數，其反函數是對數函數，它是一個多值函數 ^[1]  。

一般地，函數y=log_ax（a>0，且a≠1）叫做對數函數，也就是説以冪（真數）為自變量，指數為因變量，底數為常量的函數，叫對數函數。

其中x是自變量，函數的定義域是（0，+∞），即x>0。它實際上就是指數函數的反函數，可表示為x=a^y。因此指數函 數里對於a的規定，同樣適用於對數函數。一般形式如下 ^[1]  ：

（a>0, a≠1， x>0,特別當α=e時，記為y=ln x）

定義域求解：對數函數y=log_ax 的定義域是{x 丨x>0}，但如果遇到對數型複合函數的定義域的求解，除了要注意大於0以外，還應注意底數大於0且不等於1，如求函數y=log_x（2x-1）的定義域，需同時滿足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定義域為 {x 丨x>1/2且x≠1}。

值域：實數集R，顯然對數函數無界；

定點：對數函數的函數圖像恆過定點（1，0）；

單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數；0<a<1時，在定義域上為單調減函數；

週期性：不是週期函數

零點：x=1

注意：負數和0沒有對數。

兩句經典話：底真同對數正,底真異對數負。解釋如下：

也就是説：若y=log_ab （其中a>0,a≠1，b>0）

當0<a<1, 0<b<1時，y=log_ab>0;

當a>1, b>1時，y=log_ab>0;

當0<a<1, b>1時，y=log_ab<0;

當a>1, 0<b<1時，y=log_ab<0 ^[1]  。

三角函數是數學中常見的一類關於角度的函數。也就是説以角度為自變量，角度對應任意兩邊的比值為因變量的函數叫三角函數，三角函數將直角三角形的內角和它的兩個邊長度的比值相關聯，也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究週期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級限或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是複數值。

常見的三角函數包括正弦函數、餘弦函數和正切函數。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如餘切函數、正割函數、餘割函數、正矢函數、半正矢函數等其他的三角函數。不同的三角函數之間的關係可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恆等式。

三角函數一般用於計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數為模版，可以定義一類相似的函數，叫做雙曲函數。常見的雙曲函數也被稱為雙曲正弦函數、雙曲餘弦函數等等。三角函數（也叫做圓函數）是角的函數；它們在研究三角形和建模週期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是複數值。

常見三角函數主要有以下 6 種：

正弦函數 ：y =sinx

餘弦函數 ：y =cos x

正切函數 ：y =tan x

餘切函數 ：y =cot x

正割函數 ：y =sec x

餘割函數 ：y =csc x

此外，還有正矢、餘矢等罕用的三角函數 ^[1]  。

反三角函數是一種基本初等函數。它是反正弦arcsin x，反餘弦arccos x，反正切arctan x，反餘切arccot x，反正割arcsec x,反餘割arccsc x這些函數的統稱，各自表示其反正弦、反餘弦、反正切、反餘切 ,反正割，反餘割為x的角。

它並不能狹義的理解為三角函數的反函數，是個多值函數。三角函數的反函數不是單值函數，因為它並不滿足一個自變量對應一個函數值的要求，其圖像與其原函數關於函數y=x對稱。歐拉提出反三角函數的概念，並且首先使用了“arc+函數名”的形式表示反三角函數。

主要有以下 6 個 ^[1]  ：

反正弦函數：y = arcsin x

反餘弦函數：y = arccos x

反正切函數：y = arctan x

反餘切函數：y = arccot x

反正割函數：y = arcsec x

反餘割函數：y = arccsc x

在數學中，常數函數（也稱常值函數）是指值不發生改變（即是常數）的函數。例如，我們有函數f(x)=4，因為f映射任意的值到4，因此f是一個常數。更一般地，對一個函數f: A→B，如果對A內所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那麼，f是一個常數函數。

請注意，每一個空函數（定義域為空集的函數）無意義地滿足上述定義，因為A中沒有x和y使f(x)和f(y)不同。然而有些人認為，如果包括空函數的話，那麼常數函數將更容易定義。

對於多項式函數，一個非零常數函數稱為一個零次多項式。下列為一般形式 ^[1]  ：

y=C (C是常數)

常數函數可以通過與複合函數的關係，從兩個途徑進行描述。

下面這些是等價的：

f: A→B是一個常數函數。 對所有函數g, h: C→A, fog=foh（“o”表示複合函數）。 f與其他任何函數的複合仍是一個常數函數。 上面所給的常數函數的第一個描述，是範疇論中常數態射更多一般概念的激發和定義的性質。

根據定義，一個函數的導函數度量自變量的變化與函數變化的關係。那麼我們可以得到，由於常數函數的值是不變的，它的導函數是零。例如：

如果f是一個定義在某一區間、變量為實數的實數函數，那麼當且僅當f的導函數恆為零時，f是常數。 對預序集合間的函數，常數函數是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如f的定義域是一個格，那麼f一定是一個常數函數。

常數函數的其他性質包括：

任一定義域和陪域相同的常數函數是等冪的。 任一拓撲空間上的常數是連續的。 在一個連通集合中，當且僅當f是常數時，它是局部常數 ^[1]  。