多值函數

多值函數定義：設X是一個非空數集，Y是非空數集 ，f是個對應法則 ， 若在X中有至少一個元素x，按對應法則f，Y有至少兩個元素y與之對應，且對X中的所有元素x，按對應法則f，都有Y中的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的多值函數，記作y=f(x)。 ^[1] 

若對定義域每一個自變量x，其對應的函數值f(x)是唯一的，則稱f(x)是單值函數，反之則稱f(x)是多值函數。關鍵詞“每一個”，“唯一的”。

單值函數定義：設X是一個非空數集，Y是非空數集 ，f是個對應法則 ， 若對X中的每個x，按對應法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應 ， 就稱對應法則f是X上的一個函數，記作y=f(x)。習慣上也説y是x的函數。

這兩個定義的區別可抓關鍵詞的變化，“唯一的”變為“至少一個”且具備“一對多”的情況。

多值函數的例子：

（1）若│f(x)│=2x-1，則f(x)=±(2x-1)，一個自變量x對應兩個函數值。

（2）y=sinx (x∈R)在R上的反函數（注：在單值函數里，是"在[-π/2,π/2]上為多值函數）

（3）y=Arcsinx，一個自變量x對應無數個函數值。

（4）每個大於0的實數都有二個實數的平方根，例如4的平方根是{−2, +2}.，0的平方根是0。

（5）一般而言，許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根，只有0的n次方根為0。

（6）複對數函數是多值函數。log(a+bi)（ a和b為實數）的值是

，其中 n為任意整數。 .

（7）反三角函數為週期性的多值函數，例如

因此，arctan(1)在本質上會對應許多數值：π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tanx的定義域在−π/2 <x<π/2，此區域下tanx為單純遞增，則arctan(x)的值域會在−π/2 <y<π/2。這種限定區域下的值稱為主值。

（8）不定積分也可以視為是多值函數，函數f的不定積分是一個函數的集合，集合中的每一個函數微分後都是f，因此不定積分存在一積分常數，因為積分常數不論本身數值多少，微分後都是0。

（9）所有的多值函數都是來自非單射的函數，因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊，因此函數也就不可逆。

（10）複變函數的多值函數會有分支點，例如n次方根以及對數函數中，0是分支點，而arctan函數中，虛數單位i和−i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式，將這些函數重新定義為單值函數。若是在實函數的例子中，這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。 ^[2] 

1、函數是指實數集對實數集的映射，而從映射的角度出發是定義域中的每個元素只能有一個像。多值函數的一個X可以有兩個Y與之對應，這是否與函數的定義相違背？

如果定義函數是映射的一種，那麼從映射的定義上來看，多值函數不是函數。如果定義函數是一種對應法則（許多課本亦如此定義），那麼毫無疑問，多值函數是函數的一類。

所以多值函數是不是函數取決於對於函數的定義。可以説狹義的函數特指單值函數，但是廣義的函數既包含單值函數，也包含多值函數。

你認為的矛盾是已經從某種意義上把多值函數歸為函數範疇了，如果你把術語函數換成對應來就好理解，對應和多值對應從字面意思就能看出他們所指並不一樣，所以並不存在矛不矛盾的話題。就相當於解釋什麼是‘維’‘一維’‘二維’‘多維’一樣。

2、多值函數是不是函數?

問題出在函數的定義裏，在早些年出版的教材裏，函數的定義裏沒有“唯一”兩個字，因此函數就有單值函數與多值函數的區分，按那種定義，多值函數是函數；近些年出版的教材裏，函數的定義裏有“唯一”兩字，因此函數都是單值的，從這個意義上説，多值函數就不是函數了。