-
初等函數
鎖定
- 中文名
- 初等函數
- 外文名
- elementary function
- 分 類
- 代數函數和超越函數
- 作 用
- 研究函數的一般理論中起重要作用
- 非初等函數
- 狄利克雷函數和黎曼函數等
- 應用領域
- 高等數學、數學分析等
初等函數函數概念
初等函數
初等函數是由冪函數(power function)、指數函數(exponential function)、對數函數(logarithmic function)、三角函數(trigonometric function)、反三角函數(inverse trigonometric function)與常數經過有限次的有理運算(加、減、乘、除、有理數次乘方、有理數次開方)及有限次函數複合所產生,並且能用一個解析式表示的函數。
它是最常用的一類函數,包括常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數(以上是基本初等函數),以及由這些函數經過有限次四則運算或函數的複合而得的所有函數。即基本初等函數經過有限次的四則運算或有限次的函數複合所構成並可以用一個解析式表出的函數,稱為初等函數。
[1]
還有一系列雙曲函數也是初等函數,如sinh的名稱是雙曲正弦或超正弦,cosh是雙曲餘弦或超餘弦,tanh是雙曲正切,coth是雙曲餘切,sech是雙曲正割,csch是雙曲餘割。初等函數在其定義區間內一定連續。
一個初等函數,除了可以用初等解析式表示以外,往往還有其他表示形式。例如 ,三角函數 y=sinx 可以用無窮級數表為y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函數是最先被研究的一類函數,它與人類的生產和生活密切相關,並且應用廣泛。為了方便,人們編制了各種函數表,如平方表、開方表、對數表、三角函數表等。
[2]
有理函數
兩個復係數的多項式之比為有理函數,它實現擴充的複平面到自身的解析映射。分式線性函數是一個特殊的有理函數,它在複分析中有重要的意義。另一個特殊情形是冪函數w=zn,n 是自然數,它在全平面是解析的。因此當n≥2時,它在全平面除z=0以外到處實現共形映射(保角映射)。它將圓周|z|= r變為圓周|w|=rn,將射線argz=θ變為射線argw=nθ。任何一個區域,只要該區域中任兩點的輻角差小於2π/n,它就是w=zn的單葉性區域。冪函數w=zn的反函數為根式函數,它有n個值(k=0,1,…,n-1),稱為它的分支。它們在任何區域θ1z<θ1+2π中都單值解析。
[2]
代數函數
超越函數
初等函數常用函數
常函數
三角函數
三角函數是起源於幾何學的最簡單的超越函數。
初等三角函數包括正弦函數y=sinx 、餘弦函數y=cosx 、正切函數y=tanx、餘切函數y=cotx 、正割函數y=secx和餘割函數y=cscx。高等分析學中用弧度制計量角度,即以單位圓週上的弧段量度相應的圓心角。
[2]
指數函數
對數函數
反三角函數
三角函數的反函數 ——反正弦函數y = arcsinx 、反餘弦函數 y=arccosx (-1≤x≤1,0≤y≤π)、反正切函數y=arctanx 、反餘切函數
等 , 以上這些函數常統稱為基本初等函數。
[2]
雙曲函數
雙曲函數(4張)
雙曲正弦或超正弦
雙曲餘弦或超餘弦
雙曲正切
雙曲餘切
雙曲正割
雙曲餘割
它們有如下的幾何解釋,即雙曲線x2-y2=1(x>0)上取一點M,又令O為原點,N=(1,0),將ON,OM和雙曲線上的弧所圍面積記為θ/2,點M的座標視為θ的函數,並記為coshθ和sinhθ,即有表示式cosh2θ-sinh2θ=1。
[2]
冪函數
初等函數數域推廣
復變三角函數
例如將y=sinx和y=cosx中變量x換為復變量z,則得到復變三角函數w=sinz和w=cosz,它們是整函數。tanz=sinz/cosz,cotz=cosz/sinz等是z的亞純函數。它們具有實三角函數的很多類似性質:週期性、微商性質、三角恆等式等。但|sinz|≤1,|cosz|≤1不是對任何z都成立。三角函數與指數函數密切聯繫,因此應用時很方便。sinz的單葉性區域將Gk單葉並共形地映為全平面上除去實軸上線段[-1,1]和負虛軸後得到的區域;它將Rk單葉並共形地映為全平面除去實軸上兩條射線(
,-1]和[1,
)後得到的區域。類似地可以指出cosz的單葉性區域。
[3]
復變指數函數
在指數函數式w=ex中將x換為復變量z,便得到復變指數函數w=ez。復變指數函數有類似於實指數函數的性質:ez是一整函數且對任何複數z,ez≠0;它滿足ez1·ez2=ez1+z2;ez以2kπi為週期,ez=ez+2kπi;並且它的導數與本身相同,即 (ez)'=ez。函數w=ez在全平面實現共形映射。任何一個區域,只要對區域內任兩點,其虛部之差小於2π,它就是ez的單葉性區域。例如,指數函數把直線x=x0變為圓周,把直線y=y0變為射線argw=y0,因而把區域Sk變為區域0w<2π,把寬度為β的帶形區域α0<α0+β(β≤2π)變為開度為β的角形域α0w<α0+β。
[3]
復變對數函數
對數函數w=lnz是指數函數w=ez的反函數,它有無窮多個值2kπ(k 為整數),稱為它的分支。每一個分支在區域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的。對數函數把這個區域單葉地變為帶形區域θ0w<θ0+2π,也把開度為β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)變為寬度為β的帶形區域θ0w<θ0+β。 像實對數函數一樣,它滿足lnz1+lnz2=ln(z1·z2)。
[3]
復變反三角函數
復變雙曲函數
復變冪函數