線性函數

在初級代數與解析幾何，線性函數是隻擁有一個變量的一階多項式函數，又或者是常數函數。因為，採用直角座標系，這些函數的圖象是直線，所以，這些函數是線性的。要注意的是，與x軸垂直的直線不是線性函數。（因為輸入值不對應唯一輸出值，所以它不符合函數的定義）

線性函數可以表達為斜截式：

其中m是斜率且

，而

是

在y軸上的截距，即函數圖象與 y軸相交點的

-座標。改變斜率

會使直線更陡峭或平緩。改變

-截距

會將直線移上或移下。

圖1展示了三個線性函數的圖象：

紅色與藍色直線的斜率相同。 紅色與綠色直線的

-截距相同。

在線性代數裏，線性函數是一個線性映射。

設 V 和 W 是在相同域 K 上的向量空間。函數 f : V → W 被稱為是線性映射，如果對於 V 中任何兩個向量 a和 b與 K 中任何標量 k，滿足下列兩個條件：

即其維持向量加法與標量乘法。 ^[1] 

如果W等同域K，也稱f是V上的一個線性函數。

例如，假若，我們用座標向量 (Coordinate vector) 來表示x與f(x)，那麼線性函數可以表達為

f(x)=M*x；其中，M是矩陣。

兩個變量之間存在一次函數關係，就稱它們之間存在線性關係。

正比例關係是線性關係中的特例，反比例關係不是線性關係。

更通俗一點講，如果把這兩個變量分別作為點的橫座標與縱座標，其圖象是平面上的一條直線，則這兩個變量之間的關係就是線性關係。

在高等數學裏，線性函數是一個線性映射，是在兩個向量空間之間，維持向量加法與標量乘法的映射。

例如，假若，我們用座標向量(coordinate vector來表示

與

。那麼，線性函數可以表達為

其中，

是矩陣。

仿射變換是指一個向量空間進行一次線性變換並接上一個平移，變換為另一個向量空間。

一個對向量

平移

，與旋轉放大縮小

的仿射映射為

上式在齊次座標上，等價於下面的式子

在分形的研究裏，收縮平移仿射映射可以製造制具有自相似性的分形。

一個在兩個仿射空間之間的仿射變換，是在向量上呈現線性之座標點的變換（即為空間中點與點之間的向量）。以符號表示的話，

使得

，決定任一對點的線性變換：

或者

仿射變換表示

如上所示，仿射變換為兩函數的複合：平移及線性映射。普通向量代數用矩陣乘法呈現線性映射, 用向量加法表示平移。正式言之，於有限維度之例中，假如該線性映射被表示為一矩陣“A”，平移被表示為向量

，一仿射映射

可被表示為