冪函數

冪函數的一般形式是

，其中，a可為任何常數，但中學階段僅研究a為有理數的情形（a為有理數時：a>0，定義域為[0,+∞)；a<0，定義域為(0,+∞) ） ^[1]  ，這時可表示為

，其中m,n，k∈N*，且m，n互質。特別，當n=1時為整數指數冪。

（1）當m，n都為奇數，k為偶數時，如

，

，

等，定義域、值域均為R，為奇函數；

（2）當m，n都為奇數，k為奇數時，如

，

，

等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數；

（3）當m為奇數，n為偶數，k為偶數時，如

，

等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數；

（4）當m為奇數，n為偶數，k為奇數時，如

，

等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數；

（5）當m為偶數，n為奇數，k為偶數時，如

，

等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數；

（6）當m為偶數，n為奇數，k為奇數時，如

，

等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是（-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數。 ^[2] 

當α>0時，冪函數y=x^α有下列性質：

a、圖像都經過點（1,1）（0,0）；

b、函數的圖像在區間[0,+∞）上是增函數；

c、在第一象限內，α>1時，導數值逐漸增大；α=1時，導數為常數；0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近於0（函數值遞增）；

當α<0時，冪函數y=x^α有下列性質：

a、圖像都通過點（1,1）；

b、圖像在區間（0，+∞）上是減函數；（內容補充：若為X^-2，易得到其為偶函數。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間（-∞，0）上單調遞增。其餘偶函數亦是如此）。

c、在第一象限內，有兩條漸近線（即座標軸），自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。

當α=0時，冪函數y=x^a有下列性質：

a、y=x⁰的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線。

由於x大於0是對α的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在各象限的各自情況。可以看到：

（1）所有的圖像都通過（1，1）這點.（α≠0） α>0時 圖象過點（0，0）和（1，1）。

（2）單調區間：

當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：

①當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增；

②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增；

③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減（但不能説在定義域R內單調遞減）；

④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。

當α為分數時（且分子為1），α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性：

①當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞增；

②當α>0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限內單調遞增；

③當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞減；

④當α<0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限內單調遞減（但不能説在定義域R內單調遞減）；

（3）當α>1時，冪函數圖形下凹（豎拋）；

當0<α<1時，冪函數圖形上凸（橫拋）。

（4）在（0,1）上，冪函數中α越大，函數圖像越靠近x軸；在（1，﹢∞）上冪函數中α越大，函數圖像越遠離x軸。

（5）當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。

（6）顯然冪函數無界限。 ^[3] 

對於α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果

，q和p都是整數，則

，如果q是奇數，函數的定義域是R;如果q是偶數，函數的定義域是[0,+∞）。

當指數α是負整數時，設α=-k，則

，顯然x≠0，函數的定義域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

α小於0時，x不等於0；

α的分母為偶數時，x不小於0；

α的分母為奇數時，x取R。