偶函數

最早的奇偶函數的定義

1727年， ^[1]  年輕的瑞士數學家歐拉在提交給聖彼得堡科學院的旨在解決“反彈道問題”的一篇論文（原文為拉丁文）中，首次提出了奇、偶函數的概念。若用-x代替x,函數保持不變，則稱這樣的函數為偶函數(拉丁文functionespares)。歐拉列舉了三類偶函數和三類奇函數，並討論了奇偶函數的性質。法國 數學家達朗貝 爾(J.R.D.Alembert，1717-1783)在狄德羅(D.Diderot,1713-1784)主編的《大百科全書》第7卷（1757年出版）關於函數的詞條中説：“古代幾何學家，更確切地説 是古代分析學家，將某個量x的不同次冪稱為x的函數．”類似地，法國數學家拉格朗日《解析函數論》（1797）開篇中也説，早期分析學家們使用“函數”這個詞，只是表示“同一個量的不同次冪”，後來，其涵義被推廣，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，萊布尼茨和約翰· 伯努利最早採用了後一涵義。在1727年的論文中，歐拉在討論奇、偶函數時確實沒有涉及任何超越函數。因此，最早的奇、偶函數概念都是針對冪函數以及相關複合函數而言，歐拉提出的“ 奇函數”、“偶函數”之名顯然源於冪函數的指數或指數分子的奇偶性：指數為偶數的冪函數為偶函數， 指數為奇數的冪函數為奇函數。

《無窮分析引論》中的奇、偶函數概念

1748年, ^[1]  歐拉出版他的數學名著《無窮分析引論》，將函數確立為分析學的最基本的研究對象．在第一章，他給出了函數的定義、對函數進行了分類，並再次討論了兩類特殊的函 數：偶函數和奇函數。歐拉給出的奇、偶函數定義與1727年論文中的定義實質上並無二致，但他討論了更多類型的奇、偶函數，也給出了奇函數的更多的性質。

歐拉的困惑和失誤

歐拉認為，函數

與函數

是等價的，所以儘管奇函數與偶函數的乘積為奇函數，但有時這樣的乘積也可能會是偶函數。鑑於此，歐拉提出，要使一個偶函數的冪仍為偶函數，就必須對冪指數進行限制，特別的，如果指數為分數， 那麼它的分母就不能為偶數。在將偶函數定義為

和

的複合函數時，歐拉特別增加了一個限制條件：

中不能含有

之類的根式 ^[1]  。顯然，歐拉未能區別函數

和函數

。

法文和英文中的奇偶函數

雖然達朗貝爾在《 大百科全書》 中給出了函數的定義，並介紹了有理函數、無理函數、齊次函數、相似函數，但隻字未提“奇函數”和“偶函數”這兩種特殊函數。

1786年 ，法國人裴奇（F.pezzi）將《 無窮分析引論》 第1卷譯成了法文，“奇函數”和“偶函數”分別被譯為“fonction paire”“fonction impaire”,這是兩個數學名詞在法文中的首次出現。

1792年，法國數學家勒讓德（A.Legendre）(1752-1833)向科學院提交論文“關於橢圓超越性”中提出了“正弦函數的偶函數”。勒讓德可能沿用了裴奇的譯名或直接翻譯了歐拉的名詞。這裏我們需要指出的是，將“偶函數”“奇函數”的拉丁文翻譯成對應的法文，並不會產生不同的譯法，因為最遲在笛卡兒（R.Descartes,1596-1650）的《 幾何學》 中已經有了法文的“偶 數”（nombres pairs）和“奇數”(nombres impairs)之名。

“奇函數”、“偶函數”這兩個名稱在18世紀末的法國並未得到普遍使用；或者説，函數的奇偶性還沒有受到當時法國數學家的普遍關注。1796年，法國數學家拉貝將《無窮分析引論》全書譯成法文，其中拉貝同樣將“奇函數”、“偶函數”分別譯為“fonction paire”“fonction impaire”

1809年，蘇格蘭數學家華里司（W.Wallace,1768-1843）將勒讓德的論文譯成英文， 發表在《數學文庫》(MathematicsRepository)上。華里司很自然地將 “function paire”譯為“even function”。這是“even function”這個詞在英語世界中的首次出現。不過，在英國著名數學家胡頓 （C.Hutton，1737-1823）於1815年出版的《數學與哲學辭典》中，雖然有“函數”和“微積分中的函數”這兩個詞條，但奇、偶函數念卻付之闕如。而德摩根的《代數學基礎》（偉烈亞力和李善蘭譯為《代數學》）雖對函數進行了清晰地分類，但仍隻字未提奇、偶函數。在美 國，數學家羅密士（E.Loomis,1811-1889）的微積分暢銷書《解析幾何與微積分基礎》（李善蘭與偉烈亞力譯為《代微積拾級》）雖然給出了隱函數、顯函數、增 函 數、減函數之名，但同樣不含奇、偶函數之説。這説明，奇、偶函數概念以及華里司所引入的新名詞在19世紀上半葉的英語世界裏尚未得到廣泛傳播和普遍關注．相應地，兩個概念也就不見於中國晚清的西方數學譯著。直到20世紀初，兩個概念才傳入中國。1938年出版的《算學名詞彙編》 和1945年出版的《數學名詞》 中都收錄了兩個名詞。

1、如果知道函數表達式,對於函數f(x)的定義域內任意一個x，都滿足 f(x)=f(-x) 如y=x*x；

2、如果知道圖像,偶函數圖像關於y軸（直線x=0）對稱.

3、定義域D關於原點對稱是這個函數成為偶函數的必要不充分條件.

例如:f(x)=x^2,x∈R，此時的f(x)為偶函數.f(x)=x^2,x∈(-2,2](f(x)等於x的平方,-2<x≤2),此時的f(x)不是偶函

數。

相關函數：奇函數，非奇非偶函數。

主要是根據奇偶函數的定義，先判斷定義域是否關於原點對稱，若不對稱，即為非奇非偶，若對稱，f(-x)=-f(x)的是奇函數； f(-x)=f(x)的是偶函數 ^[2]  。

關於原點對稱的函數是奇函數，關於Y軸對稱的函數是偶函數。

如果f(x)為偶函數，則f(x+a)=f[-(x+a)]

但如果f(x+a)是偶函數，則f(x+a)=f(-x+a)

(1) 兩個偶函數相加所得的和為偶函數 ^[3]  .

(2) 兩個奇函數相加所得的和為奇函數.

(3) 一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.

(4) 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.

(5) 兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.

(6) 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.

(7)奇函數一定滿足f(0)=0（因為F（0）這個表達式表示0在定義域範圍內，F(0)就必須為0）所以不一定奇函數有f(0)，但有F（0）時F（0）必須等於0，不一定有f(0)=0，推出奇函數，此時函數不一定為奇函數，例f(x)=x^2.

(8)定義在R上的奇函數f（x）必滿足f（0）=0；因為定義域在R上，所以在x=0點存在f(0)，要想關於原點對稱，在原點又只能取一個y值，只能是f(0)=0。這是一條可以直接用的結論：當x可以取0，f（x）又是奇函數時，f（0）=0）。

(9)當且僅當f（x）=0（定義域關於原點對稱）時，f（x）既是奇函數又是偶函數。

(10) 在對稱區間上，被積函數為奇函數的定積分為零。