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開方
（數學術語）
鎖定
- 中文名
- 開方
- 外文名
-
rooting
extract a root
- 外文名
- extraction of a root
- 所屬學科
- 數學
- 定 義
- 求一個數的方根的運算
- 別 名
- 開根
開方定義
求一個數的方根的運算，如
、
、
。
示例圖
開方方法
數字4開方後就是2，2就是它開方的結果
這個用兩個相同數字表示一個數的這個數字叫做開方
4=2x2 四等於二乘二
9=3x3 九等於三乘三
16=4x4
25=5x5
36=6x6
49=7x7
64=8x8
81=9x9
100=10x10
2,3,4,5,6,7,8,9,10就是4和9,16,25,36,49,64,81,100開方後的數
關於任意數開任意次方的公式：設被開方數為A，開次方數為B。C為變量
首次C取值為1，帶入A,B常量計算結果，並用計算結果值替換公式中的變量 C。再次計算結果，再次替換，當C=公式計算結果值，此時C即為根。循環步驟受開方數字長度影響，此法也可筆算進行。採用的是牛頓迭代法。且 A、B 可為小數、分數、負數，此法為逐次逼近法。可簡單的實現編程。但是注意：不能計算負數開偶數次方。
下面為：代入法
1、把被開方的整數部分從個位起向左每隔n位為一節，用撇號分開；
2、根據左邊第一節裏的數，求得開n次算術根的最高位上的數，假設這個數為a；
3、從第一節的數減去求得的最高位上數的n次方，在它們的差的右邊寫上第二節數作為第一個餘數；
4、用第一個餘數除以
，所得的整數部分試商（如果這個最大整數大於或等於10，就用9做試商）；
5、設試商為b。如果
小於或等於餘數，這個試商就是n次算術根的第二位；如果
大於餘數，就把試商逐次減1再試，直到
小於或等於餘數為止。
6、用同樣的方法，繼續求n次算術跟的其它各位上的數（如果已經算了k位數數字，則a要取為全部k位數字）。公式：
例如，開立方，A=5，即k=3.公式：
5介於
至
之間（1的3次方=1，2的3次方=8）
第一步：
。輸入值大於輸出值，負反饋；
即
，
，
，
，取2位數值,即1.7。
第二步：
.。輸入值小於輸出值，正反饋；
即
，
，
，
。取3位數，比前面多取一位數。
第三步：
。輸入值大於輸出值，負反饋
第四步：
.輸入值小於輸出值，正反饋；
這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大。
=1.7099.
開方計算機程序代碼
取任意初始值
，以上迭代序列將會收斂：
實際應用中一般取初始值為稍微大
的實數，這樣可以加快序列的收斂速度。
c語言代碼如下：
// 2015-12-24
// By: ChenYu
#include "math.h"
#include "stdio.h"
#define ABS(a) ((a)<0?-(a):(a))
#ifdef _WIN32
typedef unsigned __int64 uint64;
#else
typedef unsigned long long uint64;
#endif
// calculate a approximate value
static double calcInitRoot(double x, int n)
{
const uint64 exptMask=((uint64)1<<11)-1;
const uint64 fracMask=((uint64)1<<52)-1;
uint64 xInt=*(uint64*)&x;
int xExpt=(int)((xInt>>52)&exptMask)-1023;
xInt=((uint64)((xExpt+1024*n-1)/n)<<52)+(xInt&fracMask)/n;
return *(double*)&xInt;
}
double calcRoot(double x, int n)
{
int i, j, s=1-((x<0)<<(n&1));
double a=ABS(x);
double x1, x0=calcInitRoot(a, n);
double err=x0*1e-14;
if(x==0)
return 0;
for(i=1; i<50; i++)
{
double xn=1;
for(j=0; j<n-1; j++)
xn*=x0;
x1=((n-1)*x0*xn+a)/(xn*n);
// printf("x%d=%.14f\n", i, x1);
if(ABS(x1-x0)<=err)
break;
x0=x1;
}
return s*x1;
}
void main()
{
double x=-31141.592653589793;
int n=11;
double y=calcRoot(x, n);
printf("root(%g,%d)=%+.14f\n", x, n, y);
printf("root(%g,%d)=%+.14f\n", x, n, pow(ABS(x), 1.0/n));
}
