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餘弦

(三角函數的一種)

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餘弦(餘弦函數),三角函數的一種。在Rt△ABC(直角三角形)中,∠C=90°(如圖所示),∠A的餘弦是它的鄰邊比三角形的斜邊,即cosA=b/c,也可寫為cosa=AC/AB。餘弦函數:f(x)=cosx(x∈R)。
中文名
餘弦
外文名
cosine
表達式
cos
適用領域
理工學科
應用學科
數學幾何

餘弦定義

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的鄰邊比斜邊 叫做
的餘弦,記作
(由余弦英文cosine簡寫 ),即
的鄰邊/斜邊(直角三角形)。記作cos A =x/r
餘弦函數的定義域是整個實數集值域
。它是週期函數,其最小正週期為
。在自變量為
為整數)時,該函數有極大值1;在自變量
時,該函數有極小值-1。餘弦函數是偶函數,其圖像關於y軸對稱。
三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的積的兩倍,即在餘弦定理中,令
,這時
,所以
(1)已知三角形的三條邊長,可求出三個內角
(2)已知三角形的兩邊及夾角,可求出第三邊
(3)已知三角形兩邊及其一邊對角,可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式,推導過程略。)

餘弦餘弦定理

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餘弦定理亦稱第二餘弦定理。關於三角形邊角關係的重要定理之一。該定理斷言:三角形任一邊的平方等於其他兩邊平方和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的積的兩倍。若a、b、c分別表示∆ABC中A、B、C的對邊,則餘弦定理可表述為 [1] 
餘弦定理還可以用以下形式表達:
物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到)

餘弦第一餘弦定理

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的三邊是
,它們所對的角分別是
,則有

餘弦兩根判別法

若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個數,c1為c的表達式中根號前取加號的值,c2為c的表達式中根號前取減號的值:
①若m(c1,c2)=2,則有兩解;
②若m(c1,c2)=1,則有一解;
③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。
注意:若c1等於c2且c1或c2大於0,此種情況算到第二種情況,即一解。

餘弦角邊判別法

1、當a>bsinA時:
①當b>a且cosA>0(即A為鋭角)時,則有兩解;
②當b>a且cosA≤0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解);
③當b=a且cosA>0(即A為鋭角)時,則有一解;
④當b=a且cosA≤0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解);
⑤當b
2、當a=bsinA時:
①當cosA>0(即A為鋭角)時,則有一解;
②當cosA≤0(即A為直角或鈍角)時,則有零解(即無解)。
3、當a

餘弦證明方法

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餘弦平面向量證法

a+b=c,平行四邊形定則:兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)
c·c=(a+b)·(a+b)。
c2=a·a+2a·b+b·bc2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ),(以上粗體字符表示向量)
又∵Cos(π-θ)= - CosC,
∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ。(注意:這裏用到了三角函數公式
再拆開,得c2=a2+b2-2abCosC,
CosC=
同理可證其他,而下面的CosC=(c2-b2-a2)/(2ab)就是將CosC移到左邊表示一下。

餘弦平面幾何證法

在任意△ABC中,
做AD⊥BC,交BC於D,
∠C所對的邊為c,∠B所對的邊為b,∠A所對的邊為a,
則有BD=c*cosB,AD=c*sinB,DC=BC-BD=a-c*cosB。
根據勾股定理可得:
AC2=AD2+DC2
b2=(c*sinB)2+(a-c*cosB)2
b2=(c*sinB)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2
b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2
b2=c2+a2-2ac*cosB,
cosB=(c2+a2-b2)/2ac。

餘弦三角恆等變換

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餘弦二倍角公式

餘弦三倍角公式

餘弦半角公式

餘弦冪簡約公式

餘弦和差化積公式

餘弦萬能公式

餘弦其他

用其它三角函數來表示餘弦
函數
兩個角的和及差的餘弦
同角三角函數的基本關係式
倒數關係:tanα ·cotα=1、sinα ·cscα=1、cosα ·secα=1;
商的關係: sinα/cosα=tanα=secα/cscα、cosα/sinα=cotα=cscα/secα;
和的關係:sin2α+cos2α=1、1+tan2α=sec2α、1+cot2α=csc2α;
平方關係:sin²α+cos²α=1。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》總編輯委員會.《數學辭海》第1卷.南京:東南大學出版社,2002.8