反餘弦函數

在數學中，反三角函數（偶爾也稱為弓形函數（arcus functions），反向函數（antitrigonometric functions）或環形函數（cyclometric functions））是三角函數的反函數（具有適當的限制域）。 具體來説，它們是正弦，餘弦，正切，餘切，正割和輔助函數的反函數，並且用於從任何一個角度的三角比獲得一個角度。 反三角函數廣泛應用於工程，導航，物理和幾何。

反餘弦函數（反三角函數之一）為餘弦函數y=cosx（x∈[-½π,½π]）的反函數，記作y=arccosx或cosy=x(x∈[-1,1]).。由原函數的圖像和它的反函數的圖像關於一三象限角平分線對稱可知餘弦函數的圖像和反餘弦函數的圖像也關於一三象限角平分線對稱。 ^[1-2] 

用x表示自變量，用y表示因變量（函數值）時，餘弦函數

的反函數叫做反餘弦函數，記作

由原函數的圖像和它的反函數的圖像關於一三象限角平分線對稱，知餘弦函數的圖像和反餘弦函數的圖像也關於一三象限角平分線對稱。

作圖：先畫出函數

在

上的圖像，用平板玻璃或透明紙描好圖像，翻轉過來。（如圖1所示）

反餘弦函數的定義域為 [-1，1]

反餘弦函數的值域 [0，π]

反餘弦函數是單調遞減函數。

證明。法一：

因為

證畢。於是餘弦函數在該區間上為減函數。所以，由反函數的性質，反餘弦函數為減函數。

反餘弦函數是非奇非偶函數。

因為反餘弦函數圖像不關於y軸對稱，故不是偶函數；又因為反餘弦函數圖像不關於原點對稱，故不是奇函數。

反餘弦函數的導函數

反三角函數的三角函數如下式所示。 推導它們的一個快速方法是通過考慮直角三角形的幾何形狀，其長度為1的一側，長度x的另一側（0和1之間的任何實數），然後應用畢達哥拉斯定理和三角比。

互餘角度：

負參數：

倒數參數：

z的複數值的導數如下 ^[3]  ：

當三角形邊的長度已知時，當嘗試確定直角三角形的剩餘兩個角度時，反三角函數是有用的。 回想起正三角形的正確定義，例如，

通常，斜邊是未知的，需要使用畢達哥拉斯定理在使用反正弦或反曲線之前進行計算：

，其中h是斜邊的長度。 在這種情況下，反正切是有用的，因為斜邊的長度是不需要的。

例如，假設當屋頂耗盡20英尺時，屋頂會下降8英尺。 屋頂與水平面形成一個角度θ，其中θ可以如下計算：

對於0和π附近的角度，秋水仙素受到病態調節，從而計算出計算機實現中精度降低的角度（由於位數有限）. 類似地，對於π/ 2和π/ 2附近的角度，反正弦不準確。 ^[4]