反函數

設函數y=f(x)的定義域是D，值域是f(D)。如果對於值域f(D)中的每一個y，在D中有且只有一個x使得g(y)=x，則按此對應法則得到了一個定義在f(D)上的函數，並把該函數稱為函數y=f(x)的反函數，記為

由該定義可以很快得出函數f的定義域D和值域f(D)恰好就是反函數f^-1的值域和定義域，並且f^-1的反函數就是f，也就是説，函數f和f^-1互為反函數，即：

反函數與原函數的複合函數等於x，即：

習慣上我們用x來表示自變量，用y來表示因變量，於是函數y=f(x)的反函數通常寫成

。

例如，函數

的反函數是

。

相對於反函數y=f^-1(x)來説，原來的函數y=f(x)稱為直接函數。反函數和直接函數的圖象關於直線y=x對稱。這是因為，如果設(a,b)是y=f(x)的圖象上任意一點，即b=f(a)。根據反函數的定義，有a=f^-1(b)，即點(b,a)在反函數y=f^-1(x)的圖象上。而點(a,b)和(b,a)關於直線y=x對稱，由(a,b)的任意性可知f和f^-1關於y=x對稱。

於是我們可以知道，如果兩個函數的圖象關於y=x對稱，那麼這兩個函數互為反函數。這也可以看做是反函數的一個幾何定義。

在微積分裏，f ⁽ⁿ⁾(x)是用來指f的n次微分的。

若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的（invertible）。 ^[1] 

一函數f若要是一明確的反函數，它必須是一雙射函數，即：

若f為一實變函數，則若f有一明確反函數，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線

必對所有實數k，通過且只通過一次。 ^[1] 

定理：嚴格單調函數必定有嚴格單調的反函數，並且二者單調性相同。

在證明這個定理之前先介紹函數的嚴格單調性。

設y=f(x)的定義域為D，值域為f(D)。如果對D中任意兩點x₁和x₂，當x₁<x₂時，有y₁<y₂，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞增；當x₁<x₂時，有y₁>y₂，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞減。

證明：設f在D上嚴格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由於f的嚴格單增性，對D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。總之能使f(x)=y的x只有一個，根據反函數的定義，f存在反函數f^-1。

任取f(D)中的兩點y₁和y₂，設y₁<y₂。因為f存在反函數f^-1，所以有x₁=f^-1(y₁)，x₂=f^-1(y₂)，且x₁、x₂∈D。

若此時x₁≥x₂，根據f的嚴格單增性，有y₁≥y₂，這和我們假設的y₁<y₂矛盾。

因此x₁<x₂，即當y₁<y₂時，有f^-1(y₁)<f^-1(y₂)。這就證明了反函數f^-1也是嚴格單增的。

如果f在D上嚴格單減，證明類似。 ^[1] 

（1）函數存在反函數的充要條件是，函數的定義域與值域是一一映射；

（2）一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致；

（3）大部分偶函數不存在反函數（當函數y=f(x)， 定義域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常數），則函數f(x)是偶函數且有反函數，其反函數的定義域是{C}，值域為{0} ）。奇函數不一定存在反函數，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數。若一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。

（4）一段連續的函數的單調性在對應區間內具有一致性；

（5）嚴增（減）的函數一定有嚴格增（減）的反函數；

（6）反函數是相互的且具有唯一性；

（7）定義域、值域相反對應法則互逆（三反）；

（8）反函數的導數關係：如果x=f(y)在開區間I上嚴格單調，可導，且f'(y)≠0，那麼它的反函數y=f^-1(x)在區間S={x|x=f(y),y∈I }內也可導，且：

（9）y=x的反函數是它本身。 ^[1] 

反函數的符號記為f ^-1(x)，在中國的教材裏，反三角函數記為arcsin、arccos等等，但是在歐美一些國家，sinx的反函數記為sin^-1(x)。

x^-1表示1/x，那麼f^-1(x)與這是否有些關係呢？下面舉幾個例子來説明這點。當然，f^-1(x)肯定和1/f(x)不等，但是確實有與之很相近的性質。

為了好看以及對比，我有時會把f(x)寫成f對比，我把我想各位應該很好理解，反函數的反函數當然就是原函數，寫成數學語言就是(f^-1)^-1=f。看看，這是不是有點像指數的運算法則：1/x^-1=x呢？

如果函數x=f(y)在區間Iy內單調、可導且f '(y)不等於零，則它的反函數y=f^-1(x)在區間

內也可導，且

或

。 ^[2] 

用自然語言來説就是，反函數的導數，等於直接函數導數的倒數。這話有點繞，不過應該能讀懂，這個似乎就進一步揭示了反函數符號的意義。

在這裏要説明的是，y=f(x)的反函數應該是x=f^-1(y)。只不過在通常的情況下，我們將x寫作y，y寫作x，以符合習慣。所以，雖然反函數和直接函數不互為倒數，但是各自導函數求出後，二者卻是互為倒數。

這個內容屬於高等數學的內容了。大夥想想函數里面最簡單最基本的函數是什麼函數？不用説，肯定就是我們的恆等函數y=x，這就和我們數字裏面的1一般地位，所以，我們記恆等函數為“1_x”。

數字的基本運算就是加減乘除，而函數也有運算，雖然也有加減乘除，但是屬於函數自己的，就是複合與反函數。我們知道在實數里，x與1/x的乘積等於1，在函數的複合運算裏，也有類似的性質，函數f和g的複合記為f○g，那麼下面的性質成立：f^-1○f=1_x；1_x○f=f○1_x=f。

這第一個式子已經説明很多問題。實際上，這些都是屬於高等代數的內容，在每一個封閉的系統裏，都有一個“單位1”，都有自己的運算法則，函數里的就是1_x，實數里的就是數字1等等。要深刻理解這些，也只有大家接觸羣論以後才會深入理解。這裏也只是做點皮毛而已。我將在後面另起一文，介紹函數的“冪”的概念，就如同數的冪一樣。

（1）在函數x=f ^-1(y)中，y是自變量，x是因變量，但習慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示因變量，為此我們常常對調函數x=f^-1(y)中的字母x、y，把它改寫成y=f ^-1(x)，今後凡無特別説明，函數y=f(x)的反函數都採用這種經過改寫的形式。

⑵反函數也是函數，因為它符合函數的定義. 從反函數的定義可知，對於任意一個函數y=f(x)來説，不一定有反函數，若函數y=f(x)有反函數y=f^-1(x)，那麼函數y=f^-1(x)的反函數就是y=f(x)，這就是説，函數y=f(x)與y=f ^-1(x)互為反函數。

⑶互為反函數的兩個函數在各自定義域內有相同的單調性。單調函數一定有反函數，如二次函數在R內不是反函數，但在其單調增（減）的定義域內，可以求反函數；另外，反比例函數等函數不單調，也可求反函數。

⑷ 從映射的定義可知，函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數y=f ^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f ^-1(x)的值域；函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f ^-1(x)的定義域（如下表）：

函數：y=f(x)；

反函數：y=f ^-1(x)；

定義域： A，C；

值域： C，A；

⑷上述定義用“逆”映射概念可敍述為：

若確定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域上的“一一映射”，那麼由f的“逆”映射f ^-1所確定的函數y=f^-1(x)就叫做函數y=f(x)的反函數. 反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別對應原函數y=f(x)的值域、定義域.。開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數就可以寫為f ^-1(s)=s/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數為：f ^-1(x)=x/2-3.

有時是反函數需要進行分類討論，如：f(x)=x+1/x，需將x進行分類討論：在x大於0時的情況，x小於0的情況，多是要注意的。

一般分數函數y=(ax+b)/(cx+d)（其中ad≠bc）的反函數可以表示為y=(b-dx)/(cx-a)，這可以通過簡單的四則運算來證明。 ^[1]