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反三角函數
鎖定
- 中文名
- 反三角函數
- 外文名
- Inverse trigonometric function
- 分 類
- 反正弦、反餘弦、反正切等
- 函數等級
- 初等函數
- 一級學科
- 數學、理學
- 二級學科
- 平面三角
- 定 義
- 反正弦arcsin x,反餘弦arccos x,反正切arctan x,反餘切arccot x,反正割arcsec x,反餘割arccsc x這些函數的統稱
反三角函數簡介
反三角函數(inverse trigonometric function)是一類初等函數。指三角函數的反函數,由於基本三角函數具有周期性,所以反三角函數是多值函數。這種多值的反三角函數包括:反正弦函數、反餘弦函數、反正切函數、反餘切函數、反正割函數、反餘割函數,分別記為Arcsin x,Arccos x,Arctan x,Arccot x,Arcsec x,Arccsc x。但是,在實函數中一般只研究單值函數,只把定義在包含鋭角的單調區間上的基本三角函數的反函數,稱為反三角函數,這是亦稱反圓函數。為了得到單值對應的反三角函數,人們把全體實數分成許多區間,使每個區間內的每個有定義的 y 值都只能有惟一確定的 x 值與之對應。為了使單值的反三角函數所確定區間具有代表性,常遵循如下條件:
1、為了保證函數與自變量之間的單值對應,確定的區間必須具有單調性;
2、函數在這個區間最好是連續的(這裏之所以説最好,是因為反正割和反餘割函數是間斷的);
3、為了使研究方便,常要求所選擇的區間包含0到π/2的角;
4、所確定的區間上的函數值域應與整函數的定義域相同。這樣確定的反三角函數就是單值的,為了與上面多值的反三角函數相區別,在記法上常將Arc中的A改記為a,例如單值的反正弦函數記為arcsin x。
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反三角函數分類
為限制反三角函數為單值函數,將反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2,將y作為反正弦函數的主值,記為y=arcsin x;相應地,反餘弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反餘切函數y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函數反正弦函數
正弦函數y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函數,叫做反正弦函數。記作arcsinx,表示一個正弦值為x的角,該角的範圍在[-π/2,π/2]區間內。定義域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。
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反三角函數反餘弦函數
反三角函數反正切函數
正切函數y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函數,叫做反正切函數。記作arctanx,表示一個正切值為x的角,該角的範圍在(-π/2,π/2)區間內。定義域R,值域(-π/2,π/2)。
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反三角函數反餘切函數
反三角函數反正割函數
正割函數y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函數,叫做反正割函數。記作arcsecx,表示一個正割值為x的角,該角的範圍在[0,π/2)U(π/2,π]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。
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反三角函數反餘割函數
餘割函數y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函數,叫做反餘割函數。記作arccscx,表示一個餘割值為x的角,該角的範圍在[-π/2,0)U(0,π/2]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。
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反三角函數公式
反三角函數餘角關係
反三角函數負數關係
反三角函數倒數關係
反三角函數三角函數關係
反三角函數加減法公式
(1)arcsinx+arcsiny
(2)arcsinx-arcsiny
(3)arccosx+arccosy
(4)arccosx-arccosy
(5)arctanx+arctany
(6)arctanx-arctany
(7)arccotx+arccoty