反正割函數

反三角函數之一.指正割函數y=sec x在區間[0，π/2)∪(π/2，π]上的反函數.記為y=arcsec，x或y=sec-1x。它表示[0，π/2)∪(π/2，π]上正割值等於x的那個惟一確定的角，即sec(arcsec x)=x，反正割函數的定義域是(-

，-1]∪[1，+

)，值域是[0，π/2)∪(π/2，π].由於正割函數在區間[0，π/2)∪(π/2，π]上是單調連續的，因此，反正割函數是存在且惟一確定的.引進多值函數概念後，就可以在正割函數的整個定義域(x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z)上來考慮它的反函數，這時的反正割函數是多值的，記為y=Arcsec x，定義域是(-

，-1]∪[1，+

)，值域是y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z. ^[1] 

於是，把y=arcsec x(x∈(-

，-1]∪[1，+

)，y∈[0，π/2)∪(π/2，π])稱為反正割函數的主值，而把y=Arcsec x=2kπ±arcsec x(x∈(-

，-1]∪[1，+

)，y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z)稱為反正割函數的通值.反正割函數在區間(-

，-1]∪[1，+

)上的圖象可由區間[0，π/2)∪(π/2，π]上的正割曲線作關於直線y=x的對稱變換而得到.

（由於反函數存在的條件為原函數單調，但y=secx ,{x|x∈R，x≠π/2+kπ,k∈Z} 在定義域內不單調）所以定義：y=secx，x∈[0，π/2)∪(π/2，π]的反函數為 反正割函數， 記作y=arcsecx,x∈(-

，-1]∪[1，+

) ， y∈[0，π/2)∪(π/2，π]，注意：y表示的是一個弧度制的角，自變量x是一個正割值

函數其實就是一個數集A到另一個數集B的映射f，（一般A∈R，B∈R，A ∉ ∅，B∉ ∅），當且僅當f是一一映射時，它才有逆映射f-1（-1在f右上角，以下所有“f-1”均如此）。顯然f-1也是一一映射，它也有逆映射f。因而f與f-1互為逆映射。可見，函數y=f(x)與函數x=f-1(y)互為反函數。由於習慣上常用x表示自變量，y表示函數，因而在函數x=f-1(y)的表達式中，一般都還要對調字母x和y，把它改成y=f-1(x) ^[2] 

像與原像：設A，B是兩個非空集合，如果根據某個確定的對應法則f使得對A中的每一個元素a，集合B中都有唯一的一個元素b和它對應，那麼這種對應叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。而b叫做a(在f作用下的）的像，記作b=f(a)，a叫做（b在f作用下）的原像。顯然，原像集就是集合A，而像集與B之間有關係 f(A)⊆B ^[2] 

x∈(-

，-1]∪[1，+

) ，y∈[0，π/2)∪(π/2，π]

當x=-1時，有最大值π， 當x=1時，有最小值0

由於正割函數y=secx 在 [0，π/2)上單調遞增，所以反正割函數y=arcsecx 在 (-

，-1]上單調遞增。同理　反正割函數y=arcsecx 在 [1，+

) 上單調遞增。即單調遞增區間：(-

，-1]、[1，+

) （注意：絕對不能並起來）

(0，π/2)，故有 arcsec(x)+arcsec(-x)=π， x∈(-

，-1]∪[1，+

)

直線y=π/2

y'=(x^2)√【1-（1/x^2）】 y'始終大於0。

將其分段的答案合併即為 (x^2)√【1-（1/x^2）】

基本思想為：原函數的導數=其反函數導數的倒數，即dy/dx=1/(dx/dy)

由以上　y=arcsecx 的導數推導的圖1中，第一行cosy=1/x，所以y=arccos(1/x)。以此作為理論依據在幾何畫

板中作出　y=arcsecx的圖像。

我們知道這個結論：“ 函數f(x)的圖像和它的反函數的圖像關於直線y=x對稱”，

①可以先畫出函數y=secx在(－π/2，π/2)上的圖像

②用平板玻璃或透明紙畫好圖像，翻轉過來。或根據另一結論：點P(x0，y0)關於直線y=x的對稱點為（y0，x0），描出數點後即可作出圖形。

（取圖2兩條虛線之間的部分 作反函數即可。）