代數學

代數是研究數、數量、關係、結構與代數方程的數學分支，也是數學中最重要的、基礎的分支之一。代數學的歷史悠久，它隨着人類生活的提高，生產技術的進步，科學和數學本身的需要而產生和發展。在這個過程中，代數學的研究對象和研究方法發生了重大的變化。代數學可分為初等代數學和抽象代數學兩部分。初等代數學是更古老的算術的推廣和發展，而抽象代數學則是在初等代數學的基礎上產生和發展起來的。初等代數學是指19世紀上半葉以前的代數方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質等。

代數學是研究代數結構的學問，這有兩層含義：

第一層含義是研究各種代數結構，從而就不僅是羣 環 域，還有這些結構的各種子結構，弱結構和對這些結構的公理進行變形後得到的各種結構；第二層含義是通過各種途徑和技術來研究這些代數結構，比如同調的方法，範疇論的方法,，還有新近的量子化方法等等。

代數有兩種含義，廣義的和狹義的。廣義的代數是指羣、環、等等，這些結構及研究他們的方法論的總和； 狹義的代數一般專指向量空間上定義了某種滿足一些公理化條件的乘法後的這種結構。 ^[1] 

在中世紀的歐洲，對代數學有較大貢獻的是意大利數學家斐波那契，他的《算盤書》（1202）是這一時期最重要的數學著作，其中系統地向歐洲人介紹了阿拉伯的算術和代數。書中載有一個有趣的“兔子繁殖問題”（見斐波那契兔子問題），導致有名的斐波那契級數的研究，後人發現這個級數有許多重要而有趣的性質，至今仍有人在研究，美國人在20世紀60年代初還創辦《斐波那契季刊》，專門刊登這方面的新發現。 ^[1] 

幾何學明顯地從數學中分離出來，並在希臘科學中佔統治地位，其威力之大，以致於純算術的或代數的問題都被轉譯為幾何語言：量被解釋為長度，兩個量之積解釋為矩形、面積等。現代數學中保留的稱二次冪為“平方”，三次冪為“立方”，就是來源於此。古希臘時期流傳至今的與代數有關的著作只有丟番圖的《算術》。該書中解決了某些一次、二次方程問題和不定方程問題，出現了縮寫符號和應用負數之例。其問題構思精巧，解題方法極多，但最大的缺點是沒有解方程的一般方法。 ^[1] 

代數之前已有算術，算術是解決日常生活中的各種計算問題，即整數與分數的四則運算。代數與算術不同，主要區別在於代數要引入未知數，根據問題的條件列方程，然後解方程求未知數的值。這一類數學問題，早在古埃及的數學紙草書（約公元前1800年）中就有了啓示，書中將未知數稱為“堆，’（一堆東西），並以象形文字表示。古巴比倫人也知道某些二次方程的解法，在漢穆拉比時代（公元前18世紀）的泥板中，就載有二次方程問題，甚至還有相當於三次方程的問題。數學史家們曾為此發生過熱烈爭論：在什麼意義下能把巴比倫數學看成代數？ ^[1] 

公元4世紀以後，希臘數學開始衰微，但印度和中東地區的數學卻獲得了相當可觀的發展。7－8世紀的印度數學家主要研究不定方程的解法。在婆羅摩笈多的著作中，還給出了二次方程x²+px-q=0的一個根的公式x= 及某些不定方程的通解的一般形式。印度人已經用縮寫文字和一些記號來表示未知數和運算。 ^[1] 

中國古代在代數學方面有光輝的成就。在古代數學名著《九章算術》（公元1世紀）中，記載了用算籌解一次聯立方程組的一般方法。所採用的“正負術”中給出了負數的概念，建立了正、負數的運算法則。中國古代把開各次方和解二次以上的方程，統稱為“開方”。在《周髀算經》和趙爽注以及《九章算術》和劉徽注中已經有完整的開平方法和開立方法。在二次方程x2+ax=A的數值解法和求根公式這兩方面也有一定的成就。唐初王孝通的《緝古算經》的大部分內容是求三次方程的正根，還發展了三次方程的數值解法。宋元時期，中國數學家對高次方程的研究取得更加輝煌的成就。北宋數學家賈憲提出了著名的“開方作法本源圖”（即賈憲三角）和增乘開方法，並用來解決二項方程近似根求法。南宋秦九韶把增乘開方法運用於高次方程，在高次方程數值解法問題上做出了具有世界意義的重大貢獻。金、元之際數學家李冶研究列一元方程式的方法，創立“天元術”；元朝數學家朱世傑又把這種方法推廣到多元高次方程組，創立“四元術”，為代數學的發展做出了新的貢獻。 ^[1] 

只有希臘幾何學從數學中分離出來，算術與代數在很長時期內都是交錯在一起的。人們只能從中歸納出具有代數特點的問題，作為代數學的歷史痕跡。代數學發展成為一門獨立的數學分支應歸功於中世紀的阿拉伯人。阿拉伯數學家系統地研究了二次方程的解法，確定瞭解方程求未知量是代數學的基本特徵，建立了解方程的變形法則，還特別創造了三次方程的幾何解法。花拉子米的《代數學》傳到歐洲後，作為標準課本流行了幾百年，而奧馬·海亞姆關於“代數學是解方程的科學”的觀念一直保持到19世紀末。 ^[1] 

在花拉子米時代就已經得到，但三次、四次方程的求根公式卻直到15世紀末還沒有得到。16世紀上半葉，意大利數學家塔爾塔利亞首先得到了三次方程的一般解法，其方法卻由另一位意大利數學家卡爾達諾搶先在他的著作《大術》（1545）中公佈，為此引出一場風波，其中包括400多年前的著名的數學競賽。三次方程的求根公式以“卡爾達諾公式”流傳下來。四次方程的一般解法由卡爾達諾的學生費拉里得到。

在出現普遍適用的代數符號之前，代數方程理論的發展是緩慢的、曲折的。花拉子米的《代數學》完全用文字敍述，使用起來很不方便。丟番圖和印度數學家都使用過一些縮寫文字和記號，但很不繫統，沒有被後人採納。在12世紀以後歐洲的代數學文獻中陸續出現過一些簡寫法，包括一些運算的表示，如用p和m表示“加”和“減”等。到15世紀末，開始使用現代符號“+”和“-”來代替過去流行的繁瑣語言表示數學運算。接着又有了冪及根式的符號，並且出現了括號。 ^[1] 

最終確立是由法國數學家韋達完成的。他的《分析術入門》被西方數學史家推崇為第一部符號代數學。在本書中，他自覺地、系統地運用字母代替數字，用輔音字母表示已知數，用元音字母表示未知數。韋達還明確指出代數與算術的區別，前者是“類的算術”（施行於事物的類和形式的運算），後者是“數的算術”。於是代數學更帶有普遍性，形式更抽象，應用更廣泛。在稍後的工作裏，韋達改進了三次、四次方程的解法。他還對n=2，3的情形，建立了方程的根與係數之間的關係，即被稱為韋達定理的結果。後來笛卡兒改進了韋達創造的符號系統，用a，b，c，…表示已知量，x，y，z，…表示未知量。當代所使用的大多數代數符號到17世紀中葉已基本確立。

17－18世紀中期，代數學被理解為在代數符號上進行計算的科學，用來研究與解方程有關的問題。這個時期最好的教科書之一是歐拉的《代數學入門》（1770），其內容包括整數、分數和小數、方根、對數、一次到四次代數方程、級數、牛頓二項式和丟番圖分析等，是對16世紀中期發展起來的符號代數學的系統總結。

18世紀對代數學的研究時常要服從分析學的需要，許多人甚至把分析看作代數的延伸。其實這一時期代數學的發展為19世紀的革命性變化奠定了基礎。高斯研究了複數及其運算的幾何表示，給出代數基本定理的第一個證明（1799）。法國數學家拉格朗日、旺德蒙德和意大利數學家魯菲尼等研究五次以上代數方程的解法，發現根的有理函數與根置換對方程性質的深刻影響，開始認識到五次以上的代數方程用根式求解的不可能性。

在19世紀，代數學發生了革命性的變革。首先是挪威數學家阿貝爾證明了（1824－1826）五次以上的一般代數方程不可能用根式求解，並實質上引進了域和在給定域中不可約多項式這兩個概念。緊接着（1832），法國數學家伽羅瓦對於高次方程是否能用根式求解問題給出更徹底的解答。他引進了置換羣的正規子羣、數域的擴域、羣的同構等概念，證明了由方程的根的某些置換所構成的羣（即伽羅瓦羣）的可解性是方程根式可解的充分必要條件。伽羅瓦的工作並沒有立即為人們所瞭解和接受，直到1870年才由法國數學家若爾當在他的著作《置換與代數方程》中給出第一個全面而清晰的闡述，他還補充了自己的新成果，這部著作大大地推進了置換羣論的研究。 ^[1] 

幾乎與伽羅瓦的工作同時，英國數學家皮科克發表了他的《代數通論》（1830），其中對代數運算基本法則進行研究，試圖建立一門更一般的代數，它僅是符號及其滿足的某些運算法則的科學。英國數學家德·摩根和布爾在這方面也做出了重要嘗試。這些工作預示了抽象代數學的產生。

另一項引起代數學變革的工作來自英國數學家哈密頓和德國數學家格拉斯曼，前者在1843年構造出第一個不滿足乘法交換律的數學對象——四元數，後者則在1844年獨立地得到更一般的具有n個分量的超複數理論。

在數論方面，由於對費馬大定理的研究，德國數學家庫默爾引進了“理想數”概念（1845－1847），在此基礎上，戴德金發展了理想理論。這項工作不僅對代數數論的發展有着重要影響，而且開闢了抽象代數發展的道路。

在布爾的工作的影響下，英國數學家凱萊和西爾維斯特共同創立了代數型的理論，奠定了關於代數不變量理論的基礎。這項工作也是引向抽象代數學建立的動力。

自19世紀初以來，引起代數學的變革並最終導致抽象代數學產生的工作還可以列舉一些，這些工作大致可分屬於羣論、代數數論和線性代數這三個主要方面。到19世紀末，數學家們從許多分散出現的具體研究對象抽象出它們的共同特徵來進行公理化研究，完成了來自上述三個方面工作的綜合，代數學終於從方程理論轉向代數運算的研究。近代德國學派對這一步綜合的工作起了主要作用。自19世紀末戴德金和希爾伯特的工作開始，在韋伯的3卷鉅著的影響下，施泰尼茨於1911年發表了重要論文《域的代數理論》，對抽象代數學的建立貢獻很大。20世紀20年代以來，以A．E．諾特和阿廷以及他們的同事、學生們為中心，抽象代數學得到空前的發展。荷蘭數學家範德瓦爾登根據A．E．諾特和阿廷的講稿於20世紀30年代初寫成《近世代數學》，綜合當時抽象代數學各方面的工作於一書，對於抽象代數學的傳播和發展起了巨大的推動作用。

抽象代數學是以研究數字、文字和更一般元素的代數運算的規律和由這些運算適合的公理而定義的各種代數結構的性質為其中心問題的。因此，抽象代數學對於全部現代數學和一些其他科學領域都有重要的影響。

隨着數學中各分支理論的發展和應用的需要，抽象代數學得到不斷的發展。在1933－1938年，經過G．D．伯克霍夫、馮·諾伊曼、坎託羅維奇和斯通等人的工作，格論確定了在代數中的地位。而自20世紀40年代中期起，作為線性代數的推廣的模論得到進一步的發展併產生深刻的影響。泛代數、同調代數、範疇等新分支也被建立和發展起來。

抽象代數學的研究始於20世紀30年代。中國數學家已在許多方面取得了有意義的和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。 ^[1]