恆等函數

設

為一集合，於

上的恆等函數

被定義於一具有定義域和陪域

的函數，其對任一

內的元素

，會有

的關係。於

上的恆等函數

通常標記為

或

。

設

為任一函數，則會有

其中"

"為函數複合)。特別地是，

會是所有由

至

的函數所組成之幺半羣的單位元。，

因為幺半羣的單位元是唯一的，可以以

上的單位元來替代其恆等函數的定義。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中

的自同態並不必然要是個函數。

恆等函數

是

到

函數，即

，稱之為恆等函數。顯然，對

，有

。

1) 於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。

2) 在一

維向量空間內，恆等函數表示成單位矩陣

，不論其基為何。

3) 在一度量空間，恆等函數很當然地為等距同構。一無任何對稱的物件會有一對稱羣，即只包含這個恆等函數的平凡羣

。