-
自同態
鎖定
- 中文名
- 自同態
- 外文名
- endomorphism
- 學 科
- 數學
- 定 義
- 從一個數學對象到它本身的態射
- 用 途
- 函數計算
自同態基本概念
自同態同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射,並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題,從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
自同態同態
設E與F為兩個羣胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤， 稱從E到F中的映射
是羣胚同態，如果對於E的任一元素偶
有
(
⊥
)=
⊤
，設E與F為兩個幺半羣(兩個羣)，稱從E到F中的映射，
是幺半羣(羣)的同態，如果f是羣胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素， (在羣的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半羣N到乘法幺半羣N的映射x↦0是羣胚的同態， 而並不因此就是幺半羣的同態)。
設G為乘法羣，而
為G的元素，由關係
所定義的從加法羣Z到G中的映射
是羣的同態。
例如，設n為非零自然數，使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態，設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)，稱從E到F中的映射
是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法羣胚(乘法幺半羣)的同態.。例如,設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基，則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數
中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
自同態自同態的定義
自同態是已知集合(羣、環、代數)到其自身保持代數結構的映射，例如線性空間到某半空間的射影就是線性空間的自同態，它保持了向量的加法運算和數乘運算。
[1]
設G為關於加法的交換羣，賦以加法及法則
的G的全體自同態之集是一個環； 設E為交換體K上的向量空間，賦以法則
， E的全體自同態之向量空間是酉代數，記為ℒ(E)，或End(E)，元素
仍記為gf，A-模的情形是類似的。
[2]
自同態羣的自同態
設
是G到G本身的一個同態(或同構)，則稱
是G上的一個自同態(endomorphism)(或自同構(automorphism))，G上的所有自同態的集合對變換的複合構成—-個含幺半羣，稱為G上的自同態半羣(endomorphism semigroup)，記作EndG，G上的所有白同構的集合對變換的複合構成一個羣，稱為G上的自同構羣(automorphism group)，記作AutG。
在羣G中，取定一個元素
，定義G上的一個變換
為：對任何
有
，則
是G上的一個自同構，這個自同構稱為一個內自同構(inner autmorphism)，G上的全體內自同構構成一個羣，稱為內自同構羣(inner automorphism group)，記作InnG，即
定理設G是羣，則
（1）
（2）
其中C為G的中心。
下面通過一些例子來説明如何確定一個羣的自同態半羣或自同構羣。
例1 設Z是整數加羣，試確定AutZ。
解: 設
是Z的任一自同構，並設
(1)=k，則對任意
有
，因為
是滿射，故存在
，使
，由此得k=1或k=-1，也就是説，只有以下兩個映射才有可能是同構映射：
通過這個簡單的例子可以説明如何確定一個羣G的全部自同構(或自同態)，首先分析任意一個自同構(或自同態)
的性質，主要是分析G的生成元在
下的像，從而決定
所具有的約束條件，根據這個約束條件寫出全部自同構(或自同態)。在表達方法上，最後得到的不同的自同構(或自同態)應用不同的映射記號(例如
)表示，對每一個映射
給出
的一般表達式。
[3]
自同態環的自同態
設A和A’是兩個環，若有一個A到A‘’的映射
滿足以下條件：對任何
有
如果
是單射，則稱
是一個單同態；
如果
是滿射，則稱
是一個滿同態．這時，記作
；
如果
是雙射，則稱
是A到A'的一個同構．這時記作
。
當
是單同態時，
，稱
將A同構嵌入到A'中。
