態射

態射為範疇的一個組成成分，並配有四個運算。

1.域運算：給每個態射指定範疇中一個對象。

2.陪域運算：給每個態射指定範疇中一個對象。

態射經常用從其域到其陪域的箭頭來表示，例如若一個態射f域為X而陪域為Y，它記為f:X→Y。所有從X到Y的態射集合記為hom_C(X,Y)或者hom(X,Y)。（有些作者採用Mor_C(X,Y)或Mor(X,Y)）。

3.複合運算：對於<f:X→Y,g:Y→Z>，指定

（或gf和fg）。態射的複合經常採用交換圖表來表示。

4.單位運算：對於每個對象X，指定一個態射id_X:X→X，稱為X上的單位態射。

對於單位運算與複合運算滿足兩條公理：

（1）單位律：使得對於每個態射f:A→B我們有

。

（2）結合律：

。 ^[4] 

當C是一個具體範疇的時候，複合只是通常的函數複合，單位態射只是恆等函數，而結合律是自動滿足的。（函數複合是結合的。）

注意域和陪域本身是決定態射的信息的一部分。例如，在集合的範疇，其中態射是函數，兩個函數可以作為有序對的集合相等，但卻有不同的陪域。這些函數從範疇論的目的來説被視為不同。因此，很多作者要求態射類hom(X,Y)是不交的。實際上，這不是一個問題，因為如果他們不是不交的，域和陪域可以加到態射上，（例如，作為一個有序三元組的第二和第三個分量），使得它們不交（互斥，disjoint）。

對態射和它們定義於其間的結構(或對象)的抽象研究構成了範疇論的一部分。在範疇論中，態射不必是函數，而通常被視為兩個對象(不必是集合 )間的箭頭。不象映射一個集合的元素到另外一個集合，它們只是表示域(domain)和陪域(codomain)間的某種關係。

儘管態射的本質是抽象的，多數人關於它們的直觀(事實上包括大部分術語)來自於具體範疇的例子，在那裏對象就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函數。

（1）同構 ^[1]  （isomorphism）:令f:X→Y為一個態射。若存在態射g:Y→X使得

和

成立，則f稱為一個同構。g稱為f的逆態射，逆態射g如果存在就是唯一的，而且顯而易見g也是一個同構，其逆為f。兩個對象之間有一個同構，那麼這兩個對象稱為同構的或者等價的。同構是範疇論中態射的最重要種類。

（2）滿態射 ^[2]  （epimorphism）：一個態射f:X→Y稱為一個滿同態，如果對於所有Y→Z的態射g₁， ^[3] 

成立。這也稱為epi或epic.具體範疇中的滿同態通常是滿射（surjective）函數，雖然並不總是這樣。 ^[3] 

（3）單態射（monomorphism）：態射f:X→Y稱為單同態，如果對於所有Z→X的態射g₁，g₂，

成立。它也稱為mono或者monic.具體範疇中的單同態通常為單射（injective）函數。 ^[2] 

（4）雙同態（bimorphism）：若f既是滿同態也是單同態，則稱f為雙同態（bimorphism）。

注意每個同構都是雙同態，但不是每個雙同態都是同構。例如，交換環的範疇中，包含映射Z → Q是一個雙同態，但不是一個同構。如果在一個範疇中每個雙同態都是同構，則這個範疇稱為一個平衡範疇。例如，集合是一個平衡範疇。

（5）自同態（endomorphism）：任何態射f:X→X稱為X上的一個自同態。

（6）自同構（automorphism）：若一個自同態也是同構的，那麼稱之為自同構。

（7）若f:X→Y和g:Y→X滿足

可是證明f是滿的而g是單的，而且

:X→X是冪等的。這種情況下，f和g稱為分割（split）.f稱為g的收縮（retraction）而g稱為f的截面。任何既是滿同態又是分割單同態的態射，或者既是單同態又是分割滿同態的態射必須是同構。

最常見的這種過程的例子是在某種意義上保持結構的函數或映射。