自同構

在數學中，自同構（automorphism）是一個數學對象對其本身的一個同構。從某種意義上講，是對對象本身的一種對稱鏡像，一種把對象映射到自身的同時保持其全部結構的一種方式。對象的所有自同構體構成一個集合，稱為自同構羣。或者籠統地稱為該對象的對稱羣。

自同構的準確定義取決於問題裏“數序對象”的類型，準確地講，是什麼構成了那個對象的“同構”。這些名詞用的最多的是在一個稱為範疇論的抽象數學分支。範疇論處理抽象對象以及這些對象之間的同態性。

在範疇論裏，自同構就是自同態( 既一個對象對自身的同態）。其也是一個同構（以範疇論的術語來講）。

在抽象代數里，一個數學對象是一個代數結構，比如羣，環，向量空間。一個同構就是一個簡單的雙射同態 （ bijective homomorphism)。(一個同態的定義取決於代數結構的類型，比如羣同態，環同態，線性算子）

單一同態（單一映射）在一些地方稱為平常自同構。相應的，其他的（非單）的自同構稱為非常自同構。 ^[1] 

例，設A={1，2，3}，代數運算○ 由下表決定：

那麼

φ：A —> A

1 |—>2，2 |—>1，3 |—>3

因為對於任意a，b∈A，都有φ(a○b)=φ(a)○φ(b)；同樣的道理也可以找出其他關於○的A的自同構。 ^[2] 

自同構羣(group of automorphisms)重要的幾何變換羣，是幾何學分類的依據，指羣自身的映射所構成的羣。羣G的所有自同構在映射的合成運算下構成的一個羣，稱為羣G的自同構羣，常記為Aut(G)。

設S是給定的空間，U是S上的一個圖形，若S到自身的一個變換g把U變到U自身，則稱g是關於U的自同構變換，簡稱關於U的自同構。S上關於U的自同構變換的全體構成一個變換羣，稱它為關於U的自同構羣。在變換中保持不變的這個圖形U稱為絕對形。例如，在射影平面上取一條直線作無窮遠直線，則在射影平面上保持無窮遠直線不變的自同構射影變換構成一個變換羣，它是關於無窮遠直線的自同構羣，同時它也是二維射影變換羣的子羣，即仿射變換羣。 ^[1] 

對於不完全圖的自同構，就是兩個相同不完全圖的同構問題。以下舉例説明。

例，求下圖1所示有向圖的全部自同構。

解，圖1中的頂點對應分類分別為{a,c,e}，{b,d,f}。建立分層樹如下圖2所示。

按頂點的出度分層，由於所求的是圖中頂點b,d,f分別與頂點b,d,f沒有邊連接，所以只取圖1的鄰接矩陣上半矩陣即可。圖1的鄰接矩陣為

由於{a,c,e}中的頂點只與中{a,c,e}的頂點對應，所以，圖1 的同構映射最多隻有6個。根據{a,c,e}的6種不同排列可得，

（1）單位映射是圖1的同構映射，即

（2）由於

所以，得到圖1 的同構映射

（3）由於

所以，得到圖1 的同構映射

（4）由於

所以，得到圖1 的同構映射

（5）由於

所以，得到圖1 的同構映射

（6）由於

所以，得到圖1 的同構映射 ^[3]