射影變換羣

射影變換羣簡稱射影羣。一類基本的變換羣。即由射影空間中全體射影變換所構成的變換羣。例如平面上全體射影變換構成平面上的射影羣。空間中全體射影變換構成空間中的射影羣。研究在射影羣下不變性質與不變量的幾何稱為射影幾何。

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

幾何學研究的重要對象。即由變換構成的羣。設G是集合S的一一變換所構成的集合，若它滿足：

1.集合內任二變換之積仍屬於這集合；

2.集合內任一變換的逆變換仍屬於這集合，

則稱G為S的一個變換羣。例如，平面上正交變換的全體構成的變換羣稱為正交羣；平面上仿射變換的全體構成的變換羣稱為仿射羣。平面上射影變換的全體構成的變換羣稱為射影羣。在“埃爾朗根綱領”中，變換羣可用來對幾何學進行分類。

一組變換，對變換的乘積構成的羣。設G為M上的有限或無限個變換的集合，若滿足下面兩個條件：①集合G中任意兩個變換的乘積仍屬於G；②集合G中每一個變換必有其逆變換，而且這個逆變換也屬於G，則稱G為M上的一個變換羣。

例如，平移變換可以構成一個羣：平面上任意兩個平移變換的積仍是平移變換；每個平移變換都有逆變換，這個逆變換就是按原變換相反方向的變換，所以仍是平移變換。

用變換羣來研究對應的幾何學的觀點，是由德國數學家克萊茵首先提出來的。1872年，克萊茵在埃爾朗根大學的教授就職演講中，提出題為《關於近代幾何研究的比較》的論文，論述了變換羣在幾何中的主導作用.他把到當時為止已發現的所有的幾何，統一在變換羣的觀點之下，明確地給出了幾何的一種新定義，即把幾何定義為在某個變換羣之下研究圖形不變性質與不變量的一門科學。這種觀點突出了變換羣在研討幾何中的地位，為用近代數學方法研究幾何學開闢了道路，因此後來把它簡稱為《埃爾朗根綱領》。

按照變換羣的觀點，幾何學可以這樣分類：研究射影變換羣、仿射變換羣、相似變換羣、正交變換羣下不變性質和不變量的幾何學分別是射影幾何學、仿射幾何學、拋物幾何學、歐氏幾何學。正交變換羣也稱為運動羣，歐氏幾何學的主要內容就是研究運動羣下不變性質和不變量的幾何學。近代發展很快、應用越來越廣的一門學科——拓撲學，就是研究拓撲變換下不變性質和不變量的幾何學。 ^[2] 

射影空間是整體幾何最基本的研究對象之一。射影空間的概念最初產生於古典射影幾何。對於射影定理中的奇異情形(即有些直線相互平行的情形)，為方便起見引入無窮遠點的概念，即規定平面上每條直線上有一個無窮遠點，兩條直線平行就是相交於無窮遠點，所有無窮遠點組成一條無窮遠直線。這種構造方法還可以推廣到高維空間，建立n維(實)射影空間P_R。在n維射影空間中常採用齊次座標(X₀∶X₁∶…∶X_n)，其中X₀，X₁，…，X_n不全為0；若a≠0，則(aX₀∶aX₁∶…∶aX_n)與(X₀∶X₁∶…∶X_n)表示同一個點.因此n維(實)射影空間同構於(R-{0})/R.進一步的研究表明P_R是緊緻解析流形。若令U_i(0≤i≤n)為P_R中座標X_i≠0的點全體，則U_iR，且U₀，U₁，…，U_n組成P_R的一個開覆蓋。上述構造方法可以推廣到任意體K上，建立K上的n維射影空間P_K.在概形理論中，還將射影空間建立在整數環Z上，即建立射影概形P_Z。由此對任意概形X可以建立P_X，它是X和P_Z(在Spec Z上)的纖維積。特別地，若X=Spec K(K為域)，則P_X=P_K。

由於射影空間的性質非常豐富難以全面列舉，僅舉數例如下：

1.P_R同胚於圓，P_C可看做添上無窮遠點的複平面，同胚於球面。

2.P_R是單側曲面，可以同胚地嵌入四維空間R，但不能同胚地嵌入三維空間R，P_C是代數極小曲面。

3.P_C是克勒流形，它的閉解析子空間都是代數的。

4.對任意域k，P_k是齊性空間，其切叢由整體向量場生成，其自同構羣為射影羣PSL(n+1，k)，其皮卡羣Pic(P_k)Z。 ^[3] 

設E為交換體K上的有限維向量空間，P(E)為由E導出的射影空間，f為E的自同構。 直線在f下的象還是直線，這表明f在E-{0}上的限制同E-{0}上的等價關係是相容的。 通過求商，由f導出的從P (E)到其自身中的映射是雙射。 這種形式的全體映射構成P(E)的全體置換之羣的子羣，稱為P(E)的射影羣，並記為PGL(E)。PGL(E)的元素稱為射影自同構。映射 f是從GL(E)到PGL(E)上的同態，其核是E的全體同位相似的羣。 當E=K時，射影羣記為PGLn(K)，或PGL(n，K)。

射影幾何亦稱投影幾何。幾何學的一個分支。主要研究圖形在射影對應(射影變換)下不變的幾何性質。射影變換是射影幾何中最重要的幾何變換。這種變換的主要特點是保持結合性。例如，點與直線及點與平面的結合性等。交比是射影幾何中最基本的不變量，其他不變量都可以用交比表示出來。

射影幾何的思想，特別是其中的透視投影原理，早在古羅馬時代已為畫家所認識和應用；射影幾何的基本不變量——交比，早已為帕普斯(Pappus，(A))所熟知;射影幾何的一些命題也早已為古代幾何學家所得到(參見“高等幾何”).然而，射影幾何作為幾何學的一個獨立分支學科卻是在19世紀初期，隨着幾何學的發展以及繪畫與建築的需要而形成和發展起來的。1822年，彭賽列(Poncelet，J.-V.)發表了射影幾何的第一部系統著作《論圖形的射影性質》一書.他通過幾何方法引進無窮遠元素，研究了二次曲線和二次曲面的配極理論，並由此導出一般的對偶原理.稍後，施泰納(Steiner，J.)研究了利用簡單圖形產生較複雜圖形的方法，並於1832年引進了線素二次曲線概念。1847年，馮·施陶特(von Staudt，K.G.C.)通過幾何作圖來建立直線上點的座標，進而使交比與射影座標不依賴於任何度量.此外，他還以精巧的方法給出虛元素的幾何解釋。與此同時，運用解析法研究射影幾何也有了長足的發展.首先是默比烏斯(Mo¨bius，A.F.)創立了一種齊次座標，揭示了對偶原理與配極之間的關係，並於1827年對交比的概念給出了完善的處理.接着，普呂克(Plücker，J.)引進了另一種齊次座標，得到了平面上無窮遠線的方程和無窮遠圓點的座標.他還引入了線座標的概念，於是從代數觀點自然就得到對偶原理，並得到一般線曲線的概念.在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法與解析法的爭論非常激烈.一些幾何學家堅持運用綜合法，如彭賽列、施泰納等.綜合法也確實有它獨特的優點，它形象鮮明，使有些問題的論證直接而簡潔.由於他們的努力，使綜合射影幾何形成了一個優美的體系。1882年，帕施(Pasch，M.)建立了第一個射影幾何演繹體系.1872年，克萊因(Klein，(C.)F.)利用變換羣的觀點把各種幾何學聯繫起來，他在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，並把幾種經典幾何看做是射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關係變得更加明朗。

1899年，希爾伯特(Hilbert，D.)發表了《幾何基礎》一書，開創了現代公理化方法.此後逐漸出現了各種幾何學的公理體系。由於數學家們的共同努力，到19世紀末，射影幾何的觀點與方法已滲透到各個幾何領域之中，使得歐幾里得幾何，羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何等聯成一個統一的整體。同時，射影幾何還在航空、攝影和測量等方面有着廣泛的應用。 ^[4]