範疇論

研究範疇就是試圖以“公理化”的方法抓住在各種相關連的“數學結構”中的共同特性，並以結構間的“結構保持函數”將這些結構相關起來。因此，對範疇論系統化的研究將允許任何一個此類數學結構的普遍結論由範疇的公理中證出。

考慮下面的例子：由羣組成的類Grp包含了所有具有“羣結構”的對象。要證明有關羣的定理，即可由此套公理進行邏輯的推導。例如，由公理中可立即證明出，羣的單位元是唯一的。

不是隻專注在有特定結構的個別對象（如羣）上，範疇論會着重在這些對象的態射（結構保持映射）上；經由研究這些態射，可以學到更多關於這些對象的結構。以羣為例，其態射為羣同態。兩個羣間的羣同態會嚴格地“保持羣的結構”，這是個以將一個羣中有關結構的訊息運到另一個羣的方法，使這個羣可以看做是另一個羣的“過程”。因此，對羣同態的研究提供了一個得以研究羣的普遍特性及羣公理的推論的工具。

類似的研究也出現在其他許多的數學理論中，如在拓撲學中對拓撲空間的連續映射的研究（相關範疇稱為Top），及對流形的光滑函數的研究等。 ^[1] 

再抽象化一次，範疇自身亦為數學結構的一種，因此可以尋找在某一意義下會保持其結構的“過程”；此一過程即稱之為函子。函子將一個範疇的每個對象和另一個範疇的對象相關連起來，並將第一個範疇的每個態射和第二個範疇的態射相關聯起來。

實際上，即是定義了一個“範疇和函子”的範疇，其元件為範疇，（範疇間的）態射為函子。

經由研究範疇和函子，不只是學習了一類數學結構，及在其之間的態射；還學習了“在不同類型的數學結構之間的關係”。此一基本概念首次出現於代數拓撲之中。不同的“拓撲”問題可以轉換至通常較易解答的“代數”問題之上。在拓撲空間上如基本羣或基本廣羣等基本的架構，可以表示成由廣羣所組成的範疇之間的基本函子，而這個概念在代數及其應用之中是很普遍的。 ^[1] 

再抽象化一次，架構通常會“自然地相關聯”，這個第一眼會覺得很曖昧的概念，產生了自然變換（將一個函子映射至另一函子的方法）此一清楚的概念。許多數學上的重要架構可以從此一角度來研究。 ^[1] 

範疇，函子和自然變換是由塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克蘭恩在1945年引進的。這些概念最初出現在拓撲學，尤其是代數拓撲裏，在同態（具有幾何直觀）轉化成同調論（公理化方法）的過程中起了重要作用。烏拉姆説，在1930年代的後期，波蘭學派中曾出現類似的想法。

艾倫堡和麥克蘭説，他們的目的在於理解自然映射；為此，必須定義函子；為了定義函子，就自然地要引進範疇。

同調代數由於計算上的需要而使用範疇論，這對範疇論起到了推進作用；此後範疇論又在代數幾何的公理化過程中得到發展。代數幾何與羅素、迪恩·懷特海德的關於數學統一性基礎的觀點相牴觸。廣義範疇論更容納了語意靈活性和高階邏輯等多種新特徵的泛代數，現今被運用到數學的許多分支。

特殊範疇拓撲斯甚至可以代替公理集合論作為數學的基礎。然而範疇論對這些範圍廣泛的基礎應用還是有爭議的；但作為構造性數學的基礎或註釋，範疇論被研究的相當透徹。儘管如此，可以説，尤其是公理集合論，至今仍然是數學家們的通用語言，並沒有被範疇論的註釋所取代。將範疇論引入大學程度的教學這一倡議，還是遭到了相當的反對。

範疇邏輯是直覺邏輯中類型論的一個被明確定義的分支，在計算機學科的函數式編程和域理論中均有應用，並且都是在笛卡爾閉範疇中對λ演算的非句法性描述。至少，用範疇論可以精確地描述在這些相關的領域裏什麼是共同的（在抽象的意義上）。 ^[2] 

在許多範疇中，態射集合 Mor(A,B) 不僅僅是集合，實際上是交換羣，態射的複合具有羣結構，也就是説是雙線性的。這種範疇被稱為預加性範疇。如果這種範疇還具有所有有限的積和餘積，則稱為加性範疇。如果所有具有一個核和一個餘核，那麼所有滿射都是餘核，所有單射都是核，我們稱此為阿貝爾範疇。阿貝爾範疇的一個典型的例子是交換羣所組成的範疇。

1.一個範疇被稱為是完備的，如果所有極限存在。集合，交換羣和拓撲空間的範疇是完備的。

2.一個範疇被稱為是笛卡兒閉性的，如果它具有有限直積，並且一個定義在有限乘積上的態射總是可以表示成定義在其中一個因子上的態射。

3.一個拓撲斯是一種特殊的笛卡兒閉範疇，在其中可表述（公理化）所有的數學結構（就象傳統上使用集合論可以表示所有數學結構）。一個拓撲斯也可以用來表述一個邏輯理論。

4.一個廣羣是這樣一種範疇，其中每一個態射都是一個同構。廣羣是羣、羣作用和等價關係的推廣。 ^[1]