餘積

給定範疇C與對角函子Δ:C→C×C，<a,b>為C×C的對象，則從<a,b>到Δ的泛態射稱為餘積圖表。

餘積圖表的對象為C中對象a⨆b（或a+b），稱為餘積對象，態射為C×C中態射<i:a→a⨆b,j:b→a⨆b>，i與j稱為餘積a⨆b的單射。

故餘積圖表可表示為

。 ^[2] 

無窮餘積為將餘積定義中的C²=C×C改為CX，其中X為集合，可以視為離散範疇。對象形如⨆_xa_x，態射為i_x:a_x→⨆_xa_x。

當J為離散範疇{1,2}時，對應的歸納極限為餘積圖表。即餘積可以視為一種特殊的歸納極限 ^[2]  。

集範疇Set的餘積為集合的可區分的並；

拓撲空間範疇Top的餘積為拓撲空間的可區分的並；

帶基點的空間範疇Top_*的餘積為楔積；

阿貝爾羣範疇Ab的餘積為阿貝爾羣的直和；

左R模範疇R-Mod的餘積為左R模的直和；

羣範疇Grp的餘積為羣的自由積；

交換環範疇CRng的餘積為交換環的張量積；

交換環k上交換代數範疇的餘積為k上交換代數的張量積。 ^[1-2] 

假設有i個集合

，餘積的數學表達如下：

其中元素x與集合序號i一起組成tuple對（可類比python中的tuple概念），這樣即使是同樣的x，因為i的不同，可以區分開來，因此就把交集中的元素變成了不相交的部分——“不相交”，然後再並集，所謂“可區分的並”。

在集範疇Set中，餘積可以簡單地理解為集合的可區分的並。

1、當A與B不相交的時候，它們的並顯然也就是它們的餘積 。

2、當A與B相交的時候，它們的餘積是這麼定義的：把相交的部分通過人為引入不同的標記而視為兩個不同的部分，然後再與原本就不相交部分的A和B進行並集運算。

（1）集合甲={a,b}與集合乙{b,c}的並是{a,b,c}，其餘積則是{a,b_甲,b_乙,c}。即一般的並是將兩個集合的元素全部放在一起，再在重複元素中只保留一個而將其他都剔除，而餘積則是認為這些重複元素實際上是不同元素，並通過人為引入其他符號（如進行餘積前各自所在的集合）而區分開來。

（2）實數集

與另一個實數集

的並依然為

，而

與

的餘積為

，即實軸與實軸的餘積為實平面。這也很容易理解，因為兩個相同的集合的並必然還是其本身。而餘積則相當於將兩個

中的元素x人為引入下標而分別記為x₁與x₂，不妨寫成我們更熟悉的有序對(x,y)的形式，因此實際上等同實平面

。顯然，這就相當於兩個集合的笛卡兒積（直積），這也是餘積的乘積性質的一種體現。

從上面的例子（2）中可以看出餘積構造的合理性，也就是餘積定義中將兩個不同集合中的“相同”元素通過人為引入標記而視為不同元素的操作是可行的。從餘積的結果來看

中的直線x=0與y=0雖然都以實數集中的0表示，但其代表的數學含義是截然不同的。也就是應該説餘積中的“相同元素”本質就是不同的，只是我們分別只在橫軸與縱軸看時，沒有必要引入不同的下標寫成(x,0)或(0,y)的樣子，而只是籠統地用

表示。因此進行餘積的前提就是默認兩個集合本來就沒有共同元素，只是記號問題所以看上去好像是有元素重複。因此自然可以簡單地取並，而無需剔除所謂的“重複”元素。

無窮乘積是把無窮序列的各項用乘號連結得到的表達式。

設{u_n}為一序列，u₁u₂...u_n…或記為

稱為無窮乘積。

餘積是無窮乘積的一部分，指無窮乘積去掉前有限個因子的結果。

對無窮乘積

，則

稱為它的餘積。若所有u_n≠0，則

收斂，當且僅當它的餘積收斂。若

收斂，則

。