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自由積
鎖定
- 中文名
- 自由積
- 外文名
- free product
- 應用學科
- 數學
- 推 廣
- 共合積
- 相關術語
- 自由羣
- 所屬領域
- 數學羣論
自由積定義
這個羣包含G和H為子羣，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的羣之中“最一般”的。自由積一定是無限羣，除非G和H其一是平凡羣。自由積的構造方法和自由羣（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的羣）相似。
[1]
自由積建構方式
若G和H是羣，以G和H形成的字是以下形式的乘積：
[2]
其中
是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化：
- 除去其中的（G或H的）單位元，
- 將其中的g1g2一對元素以其在G中的積代替，將其中的h1h2一對元素以其在H中的積代替。
每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：
自由積G∗H的元素是以G和H形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。
例如若G是無窮循環羣<x>，H是無窮循環羣<y>，則G∗H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G∗H同構於以x和y生成的自由羣。
設
是羣的一個族。用
形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。
自由積表示
是G的一個展示（SG是生成元的集合，RG是關係元的集合）
又設
是H的一個展示。那麼
即是G∗H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。（兩者都是不交併。）
自由積性質
自由積泛性質
設G是羣，
是由羣組成的一個族，有一族羣同態
。那麼存在唯一的羣同態
，使得對所有
都有
。
自由積推廣
共合積（英語：amalgamated (free) product或free product with amalgamation，法語：produit (libre) amalgamé）是自由積的推廣。設G和H是羣，又設F是另一個羣，並有羣同態。
[1]
對F中所有元素f，在自由積G∗H中加入關係
共合積及與之相近的HNN擴張，是討論在樹上作用的羣的Bass–Serre理論的基本組件。
