基本羣

設X為拓撲空間，若道路

滿足f(0)=f(1)，則f為閉路，f(0)為基點。閉路f的同倫類記為[f]。定義

為基點為x的閉路同倫類的集合，並定義閉路同倫類[f]與[g]的乘法為先後走一遍先走f再走g。則

稱為X的基本羣，或第一同倫羣。 ^[4] 

如果拓撲空間是道路連通的， 那麼這個基本羣和選擇的起點無關（即選取不同基點的基本羣彼此同構 ^[6]  ），它只依賴於拓撲空間的幾何結構。故基本羣可簡記為π₁(X)。

基本羣是平凡羣的連通空間稱為單連通的。 ^[4] 

基本羣到整數羣的同態映射全體構成一個羣，叫做1維同調羣，它們是重要的拓撲不變量。

基本羣是同倫型不變量。 ^[2]  由於基本羣是同倫型不變量，因此，如果能計算出兩個空間具有不同構的基本羣，那麼立刻推出這兩個空間的同倫型不相同，更非拓撲等價。 ^[1] 

設X與Y為帶基點的空間，則

。

(1).對於任意羣

，都存在拓撲空間

，使得

。更進一步，存在二維胞腔復形

，使得

^[7]  。

1.可縮空間（就是可以連續收縮成一個點）和球面都是單連通的。

2.圓的基本羣為整數加羣，即π₁(S¹)=ℤ ^[3]  。

3.n個S¹的楔積的基本羣為有n個生成元的自由羣。 ^[4] 

4.當n＞1，n維射影空間的基本羣為ℤ₂，即π₁(ℝP^n＞1)=ℤ₂。

5.n維環面的基本羣為ℤⁿ，即π₁(𝕋ⁿ)=ℤⁿ。

6.π₁(SO(2))，因為SO(2)≅S¹。

7.π₁(SO(3))，因為SO(3)與≅ℝP³。 ^[5]