射影空間

設V為域

上的線性空間。在V\{0}上考慮等價關係

即兩個向量等價當且僅當其在V中張成同一條直線。

與V相伴的射影空間定義為

從幾何上説，射影空間因而是V中所有通過原點的直線的集合。 ^[3] 

的維數為

域

上射影空間

為

上n+1維仿射空間

的一維子空間，即

中所有過原點的直線的全體構成的集合。

上n維仿射空間

的一點緊化為

上射影空間

。 ^[4] 

等價地，把n維球面Sⁿ所有對徑點分別粘合起來， 得到的幾何物體稱為射影空間。它的維數就是n。

n維射影空間是最簡單的不可定向的單連通緊流形（n為偶數時不可定向，奇數時可定向），也是最簡單的代數簇。

n維射影空間可以用若干個開集覆蓋住， 每個開集恰是n維仿射空間。

射影直線的定義是：在歐氏直線上添加一個無窮遠點後得到仿射直線，在仿射直線上，如果把普通點與無窮遠點同等看待而不加區分，那麼這條直線就叫做射影直線。根據上述約定以及射影直線的定義，我們通過區別歐氏直線與射影直線來理解射影直線的形象，比如：歐氏直線是不封閉的，一點分直線為兩部分，三點排成唯一順序。射影直線是封閉的，一點不能分直線為兩部分，三點不能排成唯一順序，所以，可以選取圓作為射影直線的模型。

通俗的講，就是一條直線在添上一個無窮遠點，組成的新“直線”。

確切的講，就是射影空間中一條一維線性子簇稱為射影直線（就是説，由一組一次齊次方程得到的解空間是一維的，這個解空間稱為射影直線）。

射影直線是幾何裏最簡單的完備代數簇。它也被稱為有理曲線。

我們知道球面到射影平面有一個球極投影， 它把北極點映到射影平面的無窮遠點，把球面上的圓環映到射影直線。

在這個投影下，我們發現所謂的圓，橢圓，雙曲線，拋物線，原來都是某條射影直線的一部分。 它們在球面上的原像都是圓環，只是因為所處的位置不同，所以投影在射影平面上，才會顯得千差萬別。 實際上都是同一個東西而已。

射影平面就是2維射影空間。它可以視為平面添上一條無窮遠 直線。 它是代數幾何、射影幾何裏最基本的對象。射影平面的定義比較抽象，它在射影平面的理解中是必不可少的一個環節。射影平面的定義是：歐氏平面上添加一條無窮遠直線即可得仿射平面，在仿射平面上，如果對普通元素與無窮遠元素不加區分，即可得射影平面。結合射影直線的定義可得出對射影平面的如下理解：射影平面上的直線是封閉的，且任意兩條直線有一個交點，每一條直線上有唯一一個無窮遠點，射影平面上有唯一一條無窮遠直線。根據上述的理解，還可得出射影平面與歐氏平面的不同，如：在歐氏平面上一條直線可以把平面分為兩個區域，兩條相交直線可以把平面分為四個區域；而在射影平面上，一條直線並不能把該平面分為兩個區域，因為連接兩個點的線段有兩個，其中只有一個線段與另一直線相交，而另一線段一定不與此直線相交。兩直線只能把射影平面分為兩個區域，兩部分和Ⅱ的兩部分都是相通的，而Ⅰ、Ⅱ兩部分是不相通的。因為在射影平面上，直線是封閉的，且兩直線有且僅有一個交點。

用射影平面的模型來理解射影平面的形象

在上述理解的基礎上,為了進一步理解射影平面的整體性質,給出射影平面以下的幾種模型。 ^[1] 

模型一：

我們知道，默比烏斯帶的特點是具有單側性，即沿着這帶子上任一處出發塗一種顏色，則可以不越過邊界將它全部塗遍(即原紙帶的兩面都塗上同樣的顏色)。我們從下面這模型出發，藉助於默比烏斯帶的單側性來説明射影平面也是單側的。我們可以作一個默比烏斯帶，它是射影平面的一部份。如果把默比烏斯帶的兩個同樣的邊界都粘和起來，就可以得到射影平面。我們可以想象得出射影平面的單側性和封閉性。在歐氏空間裏，我們只能看到射影平面的一部分。

模型二：

射影平面的模型還可以如下方式給出，設在歐氏空間中給定一個原點O為球心的球面，當把球面上對徑點粘和為一點，視為射影點，並把對徑點粘和為一點的球面上的大圓視為射影直線，則得到的圖形即為射影平面的一個模型。

在這模型中，射影直線都是封閉的，並且任意兩條射影直線都相交於一點。而且，是為了使得中心射影成為一一對應，才給平行線添加交點，引進了無窮遠點。從而由歐氏直線得到仿射直線，由仿射直線得到射影直線，而由歐氏平面得到仿射平面,由仿射平面得到射影平面。在這裏，此射影平面的模型還可以與仿射平面建立一一對應關係。事實上，取定與給定球面相切於一點的仿射平面α，以球心O為射影中心建立此模型Ψ到仿射平面α的中心射影，在此中心射影下，對於Ψ上的Ao點，即球面上的一對對徑點A和B，從球心O作通過A和B兩點的直線交仿射平面於點C，則點Ao與C對應，而由位於過球心O，平行於α的歐氏平面上的球面大圓所決定的射影直線，則對應於仿射平面上的無窮遠直線。這樣，就可以建立α上的點與Ψ上的點之間的一一對應。

模型三：

射影平面還可以有其它的模型。取過空間一點O的全部直線和平面，稱為一個把。對於仿射平面α上任一點，對應於把上的一條直線OA，α上的任意一條直線l對應於把裏的一個平面β。把的每一條直線稱為一個“點”，其中每一個平面稱為一條直線，則這個把也是射影平面的一個模型，可把這模型稱為直線把模型。在這個模型裏,滿足兩直線交於一個點。對於上述所討論的模型，是從通常空間加以改造而得出的，這有助於我們理解射影平面的結構與性質。

綜上所述，在射影平面上，直線是封閉的，每一條直線上都有一個無窮遠點，兩條直線有且僅有一個交點，射影平面從局部上看與歐氏平面相同，而從整體看，它是一個具有單側性的封閉曲面。 ^[2]